【动态规划】字符串编辑距离（Levenshtein距离）算法

基本介绍

Levenshtein距离是一种计算两个字符串间的差异程度的字符串度量（string metric）。我们可以认为Levenshtein距离就是从一个字符串修改到另一个字符串时，其中编辑单个字符（比如修改、插入、删除）所需要的最少次数。俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein于1965年提出了这一概念。

简单例子

从字符串“kitten”修改为字符串“sitting”只需3次单字符编辑操作，如下：

• sitten ( k -> s )
• sittin ( e -> i )
• sitting ( _ -> g )

因此“kitten”和“sitting”的Levenshtein距离为3。

实现思想

　　如何编程实现这一算法呢？许多人试图用矩阵来解释，但实际上矩阵是最终可视化的工具，配合理解“为什么”比较方便，但从矩阵却比较难想到“怎么做”。

　　我们试图找到“从字符串A修改到字符串B”这一问题的子解结构。当然反过来说“从字符串B修改到字符串A”和它是同一个问题，因为从A中删掉一个字符来匹配B，就相当于在B中插入一个字符来匹配A，这两个操作是可以互相转化的。

　　假设字符序列A[1…i]、B[1…j]分别是字符串A、B的前i、j个字符构成的子串，我们得到一个子问题是“从字符串A[1…i]修改到字符串B[1…j]”：

① 插入操作：

当将]A[1…i]修改成B[1…j−1]需要操作数为op1，那么我插入一个字符A[i’]=B[i]到A[i]和A[i+1]之间，用以匹配B[i]，于是A[1…i]修改到B[1…j]所需操作数为op1​​ +1。

② 删除操作：

当将A[1…i−1]修改成B[1…j]需要操作数为op2 ，那么我删掉字符A[i]也可以op​2​​ +1的操作数使两个子字符串匹配：

③ 修改操作：

如果A[1…i−1]修改成B[1…j−1]所需操作数为op​3​​ 的话，我将字符A[i]A[i]替换成A[i​′]=B[j]，就可以op​3​ +1的操作数完成：

但如果此时字符A[i]==B[j]的话，则不需要进行修改操作，操作数仍为op​3​​ 。
　　综上所述，我们将字符串A[1…i]修改成字符串B[1…j]所需操作为 min { op​1​ +1, op​2​​ +1, op​3​​+1​(a​i​​ ≠b​i​​ )​​ }，其中1​(a​i​​ ≠b​i​​ )​​ 代表当a​i​​ ≠b​i​​ 时取值1，否则取值为0。

数学定义

　　数学上，我们定义两个字符串A和B间的Levenshtein距离为levA, B​​ (a, b)，其中a、b分别为字符串A、B的长度，而

代码

这题思路明白了，代码自然就会写了（事实上代码也很短）

#include 
#define max(x,y) (x>y?x:y)
#define min(x,y) (x
using namespace std;
char a[1005],b[1005];
int f[1005][1005],n,m;
int main(){
    scanf("%s%s",a+1,b+1);
    n=strlen(a+1);m=strlen(b+1);
    int w=max(n,m);
    for(int i=1;i<=w;++i)f[i][0]=f[0][i]=i;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=m;++j){
            if(a[i]==b[j])f[i][j]=f[i-1][j-1];
            else f[i][j]=min(f[i][j-1],min(f[i-1][j],f[i-1][j-1]))+1;
        }
    }
    printf("%d",f[n][m]);
    return 0;
}