《视觉SLAM十四讲》学习笔记-指数与对数映射

1. SO(3)的指数映射： so(3) s o ( 3 ) 实际上是由旋转向量组成的空间，通过指数映射可将任意一个向量对应到一个位于SO(3)的矩阵。

2. 两个重要的公式：
   

   Rexp(θα∧)=cosθI+(1−cosθ)n⃗ n⃗ ⊤+sinθn⃗ ∧=cosθI+(1−cosθ)α⃗ α⃗ ⊤+sinθα⃗ ∧ R = cos ⁡ θ I + ( 1 − cos ⁡ θ ) n → n → ⊤ + sin ⁡ θ n → ∧ exp ⁡ ( θ α ∧ ) = cos ⁡ θ I + ( 1 − cos ⁡ θ ) α → α → ⊤ + sin ⁡ θ α → ∧
   
   其中第一个为罗德里格斯公式。如果已定义了对数映射，则可以通过下式把SO(3)的元素对应到 so(3) s o ( 3 ) 的向量中：
   
   Φ=ln(R)∨=(∑n=0∞(−1)nn+1(R−I)n+1)∨ Φ = ln ⁡ ( R ) ∨ = ( ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n + 1 ( R − I ) n + 1 ) ∨

下图给出了SO(3); SE(3); so(3); se(3) 的对应关系：