[BZOJ3051][平面图][树上倍增]WC2013：平面图(附平面图简单介绍)

BZOJ3051

平面图就是指一张图，其中的边有交点当且仅当它们有共同的顶点

平面图的对偶图是指把平面图的每个封闭区域看成一个点，两个点之间有连边当且仅当它们在原图中有公共边，最外面算一个区域，它的有向面积为负，其他为正

求平面图的对偶图：最小左转法：
1.将所有无向边转变为两条有向边
2.把所有有向边极角排序
3.选择一条未被标记过的边作为now，从它的出边中选择一条极角序小于它的极角序最大的边，并将now设为这条边，重复这一步骤，直到找到一条已经被标记过的边，这一步骤中的所有边就围成一个封闭图形
找出所有封闭图形即可
那么对于一条边(u,v)所在的封闭图形，它就与(v,u)所在的封闭图形有连边

平面图的点定位：
过要定位的点作y轴的平行线，则这条线会与平面图的若干条线相交，这些交点中纵坐标比这个点大的纵坐标最小的交点所在的边的逆时针方向的所属区域就是要求的
如果直线与两条边的交点相交，则判断一下斜率即可
这样做是n方的

考虑扫描线，从左到右算每一个点，可以发现对于某一段区间，图中边在竖直方向上的相对顺序不会变化，所以就可以用set维护边的加入和删除了

对于这道题：我们先弄出对偶图，然后就是经典问题：做最小生成树，树上倍增求出答案

Code：

#include
#define ll long long
#define db double
#define eps 1e-12
#define fi first
#define se second
using namespace std;
inline int read(){
	int res=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-f;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)) {res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return res*f;
}
const int N=2e5+5;
inline int sg(db x){return (x>eps)-(x<-eps);}
int n,m,cur=0,q;
int fa[N],bl[N];
int A[N],B[N],cnt=0;
inline int get(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=get(fa[x]);}
struct line{
	int a,b,id,val;
	line(){}
	line(int _a,int _b,int _id,int _val):a(_a),b(_b),id(_id),val(_val){}
}l[N];

struct point{
	db x,y;
	point(){}
	point(db _x,db _y):x(_x),y(_y){}
	friend inline point operator - (const point &a,const point &b){return point(a.x-b.x,a.y-b.y);}
	friend inline db operator * (const point &a,const point &b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
	inline db slp(){return atan2(y,x);}
}p[N<<1];
int totp=0;

struct E{
	int x,y,z;
	E(int a=0,int b=0,int c=0):x(a),y(b),z(c){}
}e[N];
inline bool operator < (const E &a,const E &b){return a.z<b.z;}
int tote=0;

namespace mst{
	int vis[N],nxt[N],c[N],head[N],tot=0;
	int dep[N],id[N],fa[N][20],mx[N][20],sign;
	inline void add(int x,int y,int z){vis[++tot]=y;nxt[tot]=head[x];head[x]=tot;c[tot]=z;}
	void dfs(int v,int ff){
		id[v]=sign;
		for(int i=1;i<=18;i++){
			fa[v][i]=fa[fa[v][i-1]][i-1];
			mx[v][i]=max(mx[fa[v][i-1]][i-1],mx[v][i-1]);
		}
		for(int i=head[v];i;i=nxt[i]){
			int y=vis[i];
			if(y==ff) continue;
			dep[y]=dep[v]+1;
			mx[y][0]=c[i];
			fa[y][0]=v;
			dfs(y,v);
		}
	}
	inline void push(int &mxx,int &x,int d){
		for(int i=18;~i;i--)
			if(d&(1<<i)) mxx=max(mxx,mx[x][i]),x=fa[x][i];
	}
	inline int query(int x,int y){
		if(id[x]!=id[y]) return -1;
		if(!id[x] || !id[y]) return -1;
		int mxx=0;
		if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
		if(dep[x]!=dep[y]) push(mxx,x,dep[x]-dep[y]);
		if(x==y) return mxx;
		for(int i=18;~i;i--)
			if(fa[x][i]!=fa[y][i]){
				mxx=max(mxx,max(mx[x][i],mx[y][i]));
				x=fa[x][i],y=fa[y][i];
			}
		return max(mxx,max(mx[x][0],mx[y][0])); 
	}
}

inline bool operator < (pair<db,int> a,pair<db,int> b){
	int t=sg(a.fi-b.fi);
	if(t) return t<0;
	return a.se<b.se;
}
set< pair<db,int> >g[N];
namespace Scan_line{
	int tc,vis[N];
	struct T{
		int a,b,u,id;
		T(int a=0,int b=0,int u=0,int id=0):a(a),b(b),u(u),id(id){}
		friend inline bool operator < (const T &a,const T &b){
			if(a.a==b.a) return a.u>b.u;
			if(p[a.a].x!=p[b.a].x) return p[a.a].x<p[b.a].x;
			return p[a.a].y>p[b.a].y;
		}
	}t[N<<1];
	struct cmp{
		inline bool operator ()(const T &a,const T &b){
			if(a.a==a.b)return (p[b.b]-p[a.a])*(p[b.a]-p[a.a])<0;
			if(b.a==b.b)return (p[a.a]-p[b.a])*(p[a.b]-p[b.a])<0;
			double t1=(p[a.a]-p[b.b])*(p[a.b]-p[b.b]),t2=(p[a.a]-p[b.a])*(p[a.b]-p[b.a]);
			double t3=(p[b.a]-p[a.a])*(p[b.b]-p[a.a]),t4=(p[b.a]-p[a.b])*(p[b.b]-p[a.b]);
			return (t1<-eps&&t2<eps)||(t2<-eps&&t1<eps)||(t3>eps&&t4>-eps)||(t4>eps&&t3>-eps);
		}
	};
	set<T,cmp>sl;
	int st[N<<1],totst;
	inline db area(){
		db res=0;
		for(int i=1;i<=totst;i++) res+=p[l[st[i]].a]*p[l[st[i]].b];
		return res;
	}///
	inline int suff(int now){
		int b=l[now].b,a=l[now].a;db ang=(p[a]-p[b]).slp();
		set< pair<db,int> >::iterator it=g[b].lower_bound(make_pair(ang,0));
		if(it==g[b].begin()) return (--g[b].end())->second;
		else return (--it)->second;
	}///
	void dfs(int x){
		vis[x]=1;int t=l[x].b;st[++totst]=x;
		int suf=suff(x);
		if(vis[suf]){
			t=(area()>0)?(++totp):0;
			for(;totst>=1;--totst){
				bl[st[totst]]=t;x=st[totst];
				int a=l[x].a,b=l[x].b;
				g[a].erase(make_pair((p[b]-p[a]).slp(),st[totst]));
			}
		}
		else dfs(suf);
	}
	inline void getarea(){
		for(int i=2;i<=cur;i++) if(!vis[i]) dfs((totst=0,i));
		for(int i=2;i<=cur;i++)
			if(p[l[i].a].x<p[l[i].b].x){
				t[++tc]=T(l[i].a,l[i].b,0,i);
				t[++tc]=T(l[i].b,l[i].a,2,i);
			}
		for(int i=1;i<=q;i++) t[++tc]=T(i*2+n-1,i*2+n-1,1,i),t[++tc]=T(i*2+n,i*2+n,1,i);
		sort(t+1,t+tc+1);
		for(int i=1;i<=tc;i++){
			if(t[i].u==2) sl.erase(T(t[i].b,t[i].a,0,0));
			else if(t[i].u==0) sl.insert(t[i]);
			else{
				set<T>::iterator it=sl.lower_bound(t[i]);
				if(it==sl.begin())continue;
				--it;
				int s=(t[i].a-n);
				(s&1?A[(s+1)/2]:B[(s+1)/2])=bl[(it)->id^1];
			}
		}
	}
}

int main(){
	n=read(),m=read();cur=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) p[i].x=read(),p[i].y=read(),++cnt;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x=read(),y=read(),w=read();
		++cur;l[cur]=line(y,x,cur,w);
		g[y].insert(make_pair((p[x]-p[y]).slp(),cur));
		++cur;l[cur]=line(x,y,cur,w);
		g[x].insert(make_pair((p[y]-p[x]).slp(),cur));
	}
	q=read();
	for(int i=1;i<=q;i++){
		++cnt;scanf("%lf%lf",&p[cnt].x,&p[cnt].y);
		++cnt;scanf("%lf%lf",&p[cnt].x,&p[cnt].y);
	}
	Scan_line::getarea();
	for(int i=2;i<=cur;i+=2)
		if(bl[i] && bl[i^1]) e[++tote]=E(bl[i],bl[i^1],l[i].val);
	sort(e+1,e+tote+1);
	for(int i=1;i<=totp;i++) fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=tote;i++){
		if(get(e[i].x)==get(e[i].y))continue;
		mst::add(e[i].x,e[i].y,e[i].z);
		mst::add(e[i].y,e[i].x,e[i].z);
		fa[get(e[i].x)]=get(e[i].y);
	}
	for(int i=1;i<=totp;i++) if(!mst::id[i]) ++mst::sign,mst::dfs(i,0);
	for(int i=1;i<=q;i++) cout<<mst::query(A[i],B[i])<<"\n";
	return 0;
}