矩阵概念————（基础知识）

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矩阵（Matrix）

是由$n\times m$个数$a_{ij}$（复数或实数）排列成$n$行$m$列的的长方阵，简称$m\times n$矩阵，记做：
$$A=\left[\begin{array}{c}{a}_{11},a_{12},\dots ,a_{1m}\\ a_{21},a_{22},\dots ,a_{2m}\\ a_{31},a_{32},\dots ,a_{3m}\\ ⋮\\ a_{n1},a_{n2},\dots ,a_{nm}\end{array}\right]$$
这$n\times m$ 个元素成为矩阵A的元，数$a_{ij}$，位于矩阵的$i$行$j$列，称为矩阵$A$的$（i，j）$元，以数$a_{ij}$为$（i，j）$元的矩阵可记为$（a_{ij}）$或$（a_{ij}{）}_{nm}，n\times m$的矩阵A，也可写成$A_{nm}$
矩阵元素全为复数的称为复矩阵，全为实数的称为实矩阵。
若行数与列数同为$n$，则我们称这个矩阵为$n$阶方阵，方阵中$i=j$的$a_{ij}$元素组成的斜线称为（主）对角线，而$i+j=n+1$的元素$a_{ij}$，组成的斜线称为（辅）对角线

矩阵的基础运算

加减

两个列数和行数相同的矩阵A，B才能相加减，其加减方式为对应元加减
$$\left[\begin{array}{c}1，2，8\\ 4，9，5\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-4，-7，3\\ -6，4，8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1-4，2-7，8+3\\ 4-6，9+4，5+8\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-3，-5，11\\ -2，13，13\end{array}\right]$$
加法性质矩阵都满足

数乘

一个数$p$乘上一个矩阵$A_{nm}$，那么$a_{ij}=a_{ij}\ast p$
$$5\ast \left[\begin{array}{c}6，-7，3\\ 0，4，8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}30，-35，55\\ 0，20，40\end{array}\right]$$
同样的，乘法中的性质也数乘满足

矩阵乘法

两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵$A$的列数和第二个矩阵$B$的行数相等时才能定义(做乘法)
如$A$是$n\times m$矩阵，B是$m\times p$矩阵，它们的乘积$C$是一个$n\times p$矩阵$C=(c_{ij})$，它的任意一个元素值为：
$$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}\dots +a_{im}{b}_{mj}=\sum _{r=1}^m{a}_{ir}{b}_{rj}$$
$$\left[\begin{array}{c}1，2，8\\ 4，9，5\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}-4，-7\\ -6，4\\ 3，8\end{array}\right]=$$
$$\left[\begin{array}{c}1\ast (-4)+2\ast (-6)+8\ast 3，1\ast (-7)+2\ast 4+8\ast 8\\ 4\ast (-4)+9\ast (-6)+5\ast 3，4\ast (-7)+9\ast 4+5\ast 8\end{array}\right]=$$
$$\left[\begin{array}{c}8，65\\ -55，48\end{array}\right]$$
矩阵的乘法运算满足结合律、左分配率、右分配律，但是不满足交换律。即：
$$\begin{gathered} (AB)C=A(BC) \\ (A+B)C=AC+BC \\ C(A+B)=CA+CB \end{gathered}$$
$AB$不一定能$BA$(除非行列完全一样)

转置

把矩阵$A$的行换成同序数的列所得到的新矩阵称为A的转置矩阵，这一过程称为矩阵的转置
A得转置矩阵记为$A^T$
$$若A=\left[\begin{array}{c}6，-7，3\\ 0，4，8\end{array}\right]$$
$$则A^T=\left[\begin{array}{c}6，0\\ -7，3\\ 8，3\end{array}\right]$$
性质：
$$\begin{gathered} (A^T{)}^T=A \\ (\lambda A{)}^T=\lambda A^T \\ (AB{)}^T=B^T{A}^T \end{gathered}$$

共轭

对于复矩阵$A$，它的共轭矩阵记为$\overline{A}$
$$若A=\left[\begin{array}{c}6-i，7+5i，3-6i\\ 5-3i，4，8-2i\end{array}\right]$$
$$则\overline{A}=\left[\begin{array}{c}6+i，7-5i，3+6i\\ 5+3i，4，8+2i\end{array}\right]$$
非复数的符号不变

共轭转置

对于复矩阵A，它的共轭转置矩阵记为$(A^{\ast }{)}_{i,j}=\overline{A_{j,i}}$，也可写成$A^{\ast }=\overline{A^T}={\overline{A}}^T$
$$若A=\left[\begin{array}{c}6-i，7+5i，3-6i\\ 5-3i，4，8-2i\end{array}\right]$$
$$则A^{\ast }=\left[\begin{array}{c}6+i，5+3i\\ 7-5i，4\\ 3+6i，8+2i\end{array}\right]$$

矩阵的行列式⋆⋆⋆

注意，只有方阵才有行列式
一个n*n的方阵A的行列式记为$det(A)$或$\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|$
$$det\left[\begin{array}{c}a，b\\ c，d\end{array}\right]=ad-bc$$
把一个$n$阶行列式中的元素$aij$所在的第$i$行和第$j$列划去后，留下来的$n-1$阶行列式叫做元素$aij$的余子式，记作$M_{ij}$。记$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$，叫做元素$a_{ij}$的代数余子式
$$D=\left[\begin{array}{c}{a}_{11},a_{12},a_{13},a_{14}\\ a_{21},a_{22},a_{23},a_{24}\\ a_{31},a_{32},a_{33},a_{34}\\ a_{41},a_{42},a_{43},a_{44}\end{array}\right]M_{23}=\left[\begin{array}{c}{a}_{11},a_{12},a_{14}\\ a_{31},a_{32},a_{34}\\ a_{41},a_{42},a_{44}\end{array}\right]$$
$A_{23}=(-1{)}^{2+3}{M}_{23}=-M_{23}$
一个n×n矩阵的行列式等于其任意行(或列)的元素与对应的代数余子式乘积之和，即：
$$det(A)=a_{i1}{A}_{i1}+\dots +a_{in}{A}_{in}=\sum _{j=1}^n(a_{ij}(-1{)}^{i+j}det(A_{ij}))$$
递归解决

矩阵与行列式的区别

• 矩阵是一个表格，行数和列数可以不一样；而行列式是一个数，且行数必须等于列数。只有方阵才可以定义它的行列式，而对于长方阵不能定义它的行列式。
• 两个矩阵相等是指对应元素都相等；两个行列式相等不要求对应元素都相等，甚至阶数也可以不一样，只要运算代数和的结果一样就行了
• 两矩阵相加是将各对应元素相加；两行列式相加，是将运算结果相加，在特殊情况下(比如有行或列相同)，只能将一行(或列)的元素相加，其余元素照写。
• 数乘矩阵是指该数乘以矩阵的每一个元素；而数乘行列式，只能用此数乘行列式的某一行或列，提公因数也如此。
• 矩阵经初等变换，其秩不变；行列式经初等变换，其值可能改变：换法变换要变号，倍法变换差倍数；消法变换不改变。