[数学建模]数学建模算法和模型（B站视频）（四）

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图论模型-Dijkstra算法

算法简介

Dijkstra算法能求一个顶点到另一顶点最短路径。它是由Dijkstra于1959年提出的。实际它能计算出始点到其它所有顶点的最短路径。Dijkstra算法是一种标号法：给赋权图的每一个顶点记一个数，称为顶点的标号（临时标号，称T标号，或者固定标号，称为P标号）。T标号表示从始顶点到该标点的最短路长的上界；P标号则是从始顶点到该顶点的最短路长。

Dijkstra算法步骤如下：

带权邻接矩阵

带权邻接矩阵是表示顶点之间相邻关系的矩阵。

矩阵中每个元素数值的确定遵从一下规则：

-xabxab表示从a地到b地的距离
-如果a地与b地间双向通行，则xab=xbaxab=xba
-如果a地到b地为单向通行，b地到a地无法直达，则xba=infxba=inf
-如果a地与b地两地间无任何直达方法，则xab=xba=inf

不带方向的

带方向的

矩阵解释

第一行第一列：v1到v1距离
第一行第二列：v1到v2距离
………………………………
第二行第一列：v2到v1距离
第二行第二列：v2到v2距离
………………………………
后面以此类推

通用代码

代码一

tulun1.m

weight=    [0     2     8     1   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf;
            2     0     6   Inf     1   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf;
            8     6     0     7     5     1     2   Inf   Inf   Inf   Inf;
            1   Inf     7     0   Inf   Inf     9   Inf   Inf   Inf   Inf;
          Inf     1     5   Inf     0     3   Inf     2     9   Inf   Inf;
          Inf   Inf     1   Inf     3     0     4   Inf     6   Inf   Inf;
          Inf   Inf     2     9   Inf     4     0   Inf     3     1   Inf;
          Inf   Inf   Inf   Inf     2   Inf   Inf     0     7   Inf     9;
          Inf   Inf   Inf   Inf     9     6     3     7     0     1     2;
          Inf   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf     1   Inf     1     0     4;
          Inf   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf     9     2     4     0;];
[dis, path]=dijkstra(weight,1, 11)
% 第一个参数：带权邻接矩阵;第二个参数:起始点; 第二个参数: 终止点。
% 这三个参数视情况需要改。

代码二：

dijkstra.m

function [min,path]=dijkstra(w,start,terminal)
n=size(w,1); label(start)=0; f(start)=start;
for i=1:n
   if i~=start
       label(i)=inf;
end, end
s(1)=start; u=start;
while length(s)(label(u)+w(u,v))
            label(v)=(label(u)+w(u,v)); 
         f(v)=u;
         end, 
      end, 
   end   
v1=0;
   k=inf;
   for i=1:n
         ins=0;
         for j=1:length(s)
            if i==s(j)
               ins=1;
            end, 
         end
         if ins==0
            v=i;
            if k>label(v)
               k=label(v);  v1=v;
            end,  
         end,  
   end
   s(length(s)+1)=v1;  
   u=v1;
end
min=label(terminal); path(1)=terminal;
i=1; 
while path(i)~=start
      path(i+1)=f(path(i));
      i=i+1 ;
end
path(i)=start;
L=length(path);
path=path(L:-1:1);

结果

dis =

    13
% 最短距离

path =

     1     2     5     6     3     7    10     9    11