菜鸟的快速幂理解

之前对于快速幂，只知道怎么用，却没弄清楚什么原理，在学了计算机组成原理和计算机网络后对二进制敏感了许多，如8²⁵⁵，直接求的话就要执行255次乘法，当指数很大的时候，就会变得很慢；

255用二进制表示就是八个1，1111 1111，
实际上255 = 2⁸ * 1 + 2⁷ * 1 + 2⁶ * 1 + 2⁵ * 1 + 2⁴ * 1 + 2³ * 1 + 2² * 1 + 2¹ * 1 + 2⁰ * 1 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0
我们把指数转变为二进制表示：
8^(11111111) = 8^128*1 * 8^64*1 * 8^32*1 * 8^16*1 * 8^8*1 * 8^4*1 * 8^2*1 * 8^1*1 * 8^0*1，从右往左开始计数，指数分别为 128、64、32、16、8、4、2、1因为当前指数是上一个指数的两倍，所以当前要乘的数=上一个乘数*上一个乘数，当前这个乘数是否与ans相乘，就要看当前位于的二进制数是否为1，采用快速幂所需乘法次数就大大减少。
如果数大，题目要求取模，就每次取模。

#include 
using namespace std;
int qpow(int a, int b, int mod){
	int ans = 1, tmp = a;
	while(b){
		if(b & 1){
			ans = ans * tmp % mod;
		}
		tmp = tmp * tmp;
		b = b >> 1;
	}
	return ans % mod;
}
int main()
{
	int a, b;
	scanf("%d %d", &a, &b);	
	printf("%d", qpow(a, b, 100));
	return 0;
}

了解了快速幂，只需要再了解线性代数中矩阵的乘法，矩阵快速幂就肯定懂了。

#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 1e2;
const int mod = 1e5;
struct abc{
	int t[N][N];
}a, ans;

void init(){
	for(int i = 1; i <= N; ++i){
		ans.t[i][i] = 1;
	}
}

struct abc x(struct abc a, struct abc b, int n){
	struct abc c;
	memset(c.t, 0, sizeof(c.t));
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		for(int j = 1; j <= n; ++j){
			for(int k = 1; k <= n; ++k){
				c.t[i][j] = (c.t[i][j] +  (a.t[i][k] * b.t[k][j]) % mod) % mod;
			}
		}
	}
	return c;
}
int main()
{
	int b, n;
	scanf("%d %d", &b, &n);
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		for(int j = 1; j <= n; ++j){
			scanf("%d", &a.t[i][j]);
		}
	}
	init();
	while(b){
		if(b & 1){
			ans = x(ans, a, n);
		}
		a = x(a, a, n);
		b = b >> 1;
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		for(int j = 1; j <= n; ++j){
			printf("%d ", ans.t[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}