BZOJ 1579 道路建设 入门分层图

那么，，先说什么是分层图呢？
在我们日常的图论中，我们一般默认 图 为二维图，即只有x,y；但是发现在某些情况下无法解决一些问题，比如涉及到动态问题
这时候单纯的图是没有办法满足的，当然你也可以枚举所有情况，不过意义何在呢？
所以这时候既然原有的二维图没法搞，那就需要一种新的建图思想了；
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分层图是一种基于dp+枚举+图论得到的新的思想；
具体来说就是，将题中所给的不确定状态放在新复制出来的原图上，新图与原图有约定的方式相互转移，这样通过n（所需改变状态的数量的排列组合）层图，from 1 -> n进行一遍BFS（或者说，，可以套 Astar) or spfa/dijstrka 从而在目标状态层下得到最优解；
    不过你可能要问，每个状态都建一层图，那 时间空间不就双双爆炸了吗？
    现在考虑一下我们刚刚提到的，dp+枚举+图论这个想法，枚举和图论已经搞定了，那dp呢？很自然的想到可以开多维数组来表示状态与层级，而且还避免了手动枚举的漏解的可能；
    那么，举一个很简单的例子：BZOJ 1579 一道状态变动仅为1的分层图，题中要求，可以有k条边变为0（层与层之间的转移）
    求1到n的最短路；
    可以发现啊这里的 k 条边就十分符合我们说的动态的标准，那先考虑k==1的情况，我们可以枚举，每条边为0的情况下，spfa求最短路；进一步去想，k==2，枚举边的排列组合，方案数为 （1+n）*n/2, k==3，，，不枚举了哈，总之我们发现，随着k的增大，枚举次数几乎是爆炸式增长；不过这还是给了一个很好的想法；排列组合的时候发现，k==n，是基于k==n-1来的，所以不妨在 k==n上，向下拓展，即递推一层，即可解决爆炸增长的次数，因为这时候只需要一遍dijstrka（），每的到下一层，就入队，然后尝试更新，最终在 dis[n][k] 得解；
    ------在此%%% Siriusren 学长------

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define N 100050
int n,m,k,head[N],ver[N],w[N],nxt[N],tot,dis[N][21],vis[N][21],xx,yy,zz; 
void add(int x,int y,int z){
    w[tot]=z,ver[tot]=y,nxt[tot]=head[x],head[x]=tot++;
}
struct Node{int now,level,weight;}t;
bool operator < (Node a,Node b){return a.weight>b.weight;}
void Dijstrka(){
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis)),dis[1][0]=0;
    priority_queueq;//小根堆优化dij
    t.now=1,q.push(t);
    while(!q.empty()){
        Node now=q.top();q.pop();
        if(vis[now.now][now.level])continue;
        vis[now.now][now.level]=1;
        for(int i=head[now.now];~i;i=nxt[i]){
            if(!vis[ver[i]][now.level]&&dis[ver[i]][now.level]>dis[now.now][now.level]+w[i]){
                dis[ver[i]][now.level]=dis[now.now][now.level]+w[i];
                t.level=now.level,t.now=ver[i],t.weight=dis[ver[i]][now.level],q.push(t);
            }
            if(now.leveldis[now.now][now.level]){//向下一层更新，并入队作为可///尝试节点更新
                dis[ver[i]][now.level+1]=dis[now.now][now.level];
                t.level=now.level+1,t.now=ver[i],t.weight=dis[ver[i]][now.level+1],q.push(t);
            }
        }
    }
}
int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&xx,&yy,&zz);
        add(xx,yy,zz),add(yy,xx,zz);
    }
    Dijstrka();
    printf("%d\n",dis[n][k]);
}

其实分层图还可以解决很多走地图/图 上得问题，很多限制条件都可以作为一个新维度，通过判断，剪枝，优化，可以解决一些看似dp又不是dp得问题；笔者学的时候有看到过，可惜没能深入学习，有兴趣的读者可以去看看，今年HEOI day2t2 有这个思想，但是数据范围不适合用分层图做，可以去感悟一下；（笔者当然是写跪了。。。。