函数的凹凸性

凹凸函数的定义

• $f$定义在$I$上
• $\forall x_1,x_2\in I,\forall \lambda \in (0,1)$
• ①若$$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$$ $\Rightarrow f$为凸($\le \to <\Rightarrow$严格凸)
• ②若$$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\ge \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$$ $\Rightarrow f$为凹($\ge \to >\Rightarrow$严格凹)
  

引理

• $f$为$I$上的凸函数$\iff$
• 对$I$上任意三点$x_1<x_2<x_3$,总有
• $$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\le \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$$

定理6.14

$f$在$I$上可导，以下论断等价

• $f$在$I$上凸
• $f^{\prime }$在$I$上增
• $\forall x_1,x_2\in I$有$$f(x_2)\ge f(x_1)+f^{\prime }(x_1)(x_2-x_1)$$

定理6.15

• $f$在$I$上二阶可导
• $f$为凸$\iff$ $$f^{\prime \prime }(x)\ge 0$$
• $f$为凹$\iff$ $$f^{\prime \prime }(x)\le 0$$
  注意！严格凸不能$\Rightarrow f^{\prime \prime }(x)>0$
  但是$f^{\prime \prime }(x)>0\Rightarrow$严格凸

Jesen不等式

• $f$为$[a,b]$上的凸$\Rightarrow$
• 对$\forall x_i\in [a,b],\forall {\lambda }_i>0,\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=1$
• 有$$f(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i)\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}f(x_i)$$

例题

$a,b,c>0\Rightarrow$证明$$(abc{)}^{\frac{a+b+c}{3}}\le a^a{b}^b{c}^c$$

拐点

• $(x_0,f(x_0))处有穿过曲线y=f(x)的切线$
• 切线两侧的曲线分别是严格凸和严格凹$$\Rightarrow 称(x_0,f(x_0))为拐点$$

定理6.16

• $f$在$x_0$处二阶可导
• $(x_0,f(x_0))$为拐点$\Rightarrow$ $$f^{\prime \prime }(x_0)=0$$

定理6.17

• $f$在$x_0$可导
• 在某$U^o(x_0)$二阶可导
• $f^{\prime \prime }$在$U_{+}^o(x_0)和U_{-}^o(x_0)$上符号相反
• $\Rightarrow (x_0,f(x_0))$为拐点

这个定理说明：是拐点，但该点的二阶导数不一定存在
除此之外还有：是拐点，但该点导数不一定存在