图论之最短路入门

最短路有很多算法：

现在我就对  Dijkstra  和 floyd 这两种算法讲一下；

这两种方法输出最短路径的时候都是利用pre数组，倒查的方法。

Dijkstra 是可以知道各个点到源点的最短距离的，是一个 dist [ ]数组记录的，时间复杂度为O(n^2)；

具体实现如下：

将图中所有的顶点V分成两个集合Va,Vb,如果源点到u的最短路径已经确定，则点u属于集合Va,否则属于Vb,

在所有属于Vb的点中找一个S到其路径长度最短的点u，将u从Vb中除去，加入到Va中，

由新确定的u更新S到Vb中每一点v的距离，如果s到u的距离加上u到v的直接距离小于当前s到v的距离，表明新生成的最短路径的长度要比前面计算的要短，那么更新这个距离；

重复这个操作，知道Vb中已经没有了点或者Vb中的点都不能由源点S到达。

Floyd 是可以求出各个点到各个点的最短距离的，复杂度是O（n^3）,利用了动态规划。用一个dist [ ]数组记录i到j的最短距离。

k从1到n循环n次，每次循环中，枚举图中不同的两个点u,v,如果dist[u][v] > dist[u][k] + dist[k ][v],则更新dist [u][v] = dist[u][k] + dist[k][v],pre[u][v] = pre[k][v];

具体代码：

hdu2544最短路

Dijkstra:

#include
using namespace std;
const int maxn = 10000 + 10;
int maze[maxn][maxn];
int n,m;
int dist[maxn];//记录源点s到节点i的最短距离
int pre[maxn];//记录前驱，便于打印路径
void Dijkstra(int s)
{
    bool p[maxn];//记录该点是否属于Va，不属于Va的就是Vb
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        if(i != s)
        {
            p[i] = false;
            dist[i] = maze[s][i];
            pre[i] = s;
        }
    }
    dist[s] = 0;
    pre[s] = s;
    p[s] = true;
    for(int i= 1 ;i<= n-1 ;i++)//对Vb中的n-1个点进行操作
    {
        int mins = INT_MAX;//在所有属于Vb中的点找一个S到其路径最短的点k
        int k = 0;
        for(int j = 1;j <= n;j++)
        {
            if(!p[j] && dist[j] 

Floyd:

#include
using namespace std;
const int maxn = 100+ 10;
int maze[maxn][maxn];
int dist[maxn][maxn];
int n,m;
int pre[maxn][maxn];
void Floyd()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j = 1;j<= n;j++)
        {
            dist[i][j] = maze[i][j];
            pre[i][j] = i;
        }
    }
    for(int k = 1; k<= n ;k++)
    {
        for(int i=1;i <= n ;i++)
        {
            for(int j=1 ;j<= n;j++)
            {
                if(dist[i][j] >= dist[i][k] + dist[k][j])
                {
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
                    pre[i][j] = pre[k][j];
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
   while(~ scanf("%d%d",&n,&m) &&(n || m))
   {
       memset(dist,INT_MAX,sizeof(dist));
       for(int ii =1; ii <= m;ii++)
       {
           int x,y,z;
           scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
           maze[x][y] = z;
           maze[y][x] = z;
       }
       Floyd();
       cout<

POJ1797 Hesvy Tansport

这个题就是找到从源点1到n的能传输的最大的重量；每条路都有一个额定最大的承重；

思路：利用 DIjstra,找到源点到每个点的最大承重。

#include
#include
#include
#include

using namespace std;
const int maxn = 1000 + 10;
int maze[maxn][maxn];
int dist[maxn];//源点到各个点的最大承重
int n,m;

void Dijkstra()
{
    bool  p[maxn];//Va集合
    int s = 1;//源点
    for(int i = 1;i <=n ;i++)
    {
        if(i != s)
        {
            p[i] = false;
            dist[i] = maze[s][i];
        }
    }
    p[s] = true;
    dist[s] = INT_MAX;
    for(int i = 1;i <= n-1 ;i++)
    {
        int maxs = 0;
        int k =0;
        for(int j=1 ;j<= n;j++)//在Vb中找到与源点相连的最大的承重
        {
            if(!p[j] && dist[j] > maxs)
            {
                maxs = dist[j];
                k =j;
            }
        }
        if(k == 0)
            return ;
        p[k] = true;
        for(int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            if(! p[j] && min(dist[k] , maze[k][j]) > dist[j])//比较是否通过这个路更加可行
            {
                dist[j] = min(dist[k],maze[k][j]);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int Tcase;
    scanf("%d",&Tcase);
    for(int ii = 1; ii <= Tcase; ii ++)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        memset(dist,0,sizeof(dist));//承重初始化为0
        memset(maze,0,sizeof(maze));//从i到j不可达的承重的就是0
        for(int i =0 ;i