Zernike在1934年引入了一组定义在单位圆
上的复值函数集{
}，{
}具有完备性和正交性，使得它可以表示定义在单位圆盘内的任何平方可积函数。其定义为：
表示原点到点
的矢量长度；
表示矢量
与
轴逆时针方向的夹角。
是实值径向多项式：
称为Zernike多项式。
Zernike多项式满足正交性：
其中
为克罗内克符号，
是
的共轭多项式。
由于Zernike多项式的正交完备性，所以在单位圆内的任何图像
都可以唯一的用下面式子来展开：
式子中
就是Zernike矩，其定义为：
注意式子中
和
采用的是不同的坐标系（
采用直角坐标，而
采用的极坐标系，在计算的时候要进行坐标转换）
对于离散的数字图像，可将积分形式改为累加形式：
我们在计算一副图像的Zernike矩时，必须将图像的中心移到坐标的原点，将图像的像素点映射到单位圆内，由于Zernike矩具有旋转不变性，我们可以将
作为图像的不变特征，其中图像的低频特征有p值小的
提取，高频特征由p值高的
提取。从上面可以看出，Zernike矩可以构造任意高阶矩。
由于Zernike矩只具有旋转不变性，不具有平移和尺度不变性，所以要提前对图像进行归一化，我们采用标准矩的方法来归一化一副图像，标准矩定义为：
，
由标准矩我们可以得到图像的"重心"，
我们将图像的"重心"移动到单位圆的圆心（即坐标的原点），便解决了平移问题。
我们知道
表征了图像的"面积"，归一图像的尺度无非就是把他们的大小变为一致的，（这里的大小指的是图像目标物的大小，不是整幅图像的大小，"面积"也是目标物的"面积"）。
所以，对图像进行变换
就可以达到图像尺寸一致的目的。
综合上面结果，对图像进行
变换，最终图像
的Zernike矩就是平移，尺寸和旋转不变的。
Zernike 不变矩相比 Hu 不变矩识别效果会好一些，因为他描述了图像更多的细节内容，特别是高阶矩，但是由于 Zernike 不变矩计算时间比较长，所以出现了很多快速的算法，大家可以 google 一下。
用 Zernike 不变矩来识别手势轮廓，识别率大约在 40%~50% 之间，跟 Hu 不变矩一样， Zernike 不变矩一般用来描述目标物形状占优势的图像，不适合用来描述纹理丰富的图像，对于纹理图像，识别率一般在 20%~30% 左右，很不占优势。 C++代码如下：
/计算一行的像素个数
imwidth:图像宽度
deep:图像深度（8位灰度图为1，24位彩色图为3）
/
#define bpl(imwidth, deep) ((imwidthdeep8+31)/324)
/获取像素值
psrcBmp:图像数据指针
nsrcBmpWidth:图像宽度，以像素为单位
x,y:像素点
deep:图像的位数深度，（1表示8位的灰度图，3表示24位的RGB位图）
/
COLORREF J_getpixel( const BYTE psrcBmp, const int nsrcBmpWidth, const int x, const int y, int deep = 3)
{
if (deep == 3)
{
return RGB((psrcBmp + x3 + ybpl(nsrcBmpWidth, deep) + 2 ) ,
(psrcBmp + x3 + ybpl(nsrcBmpWidth, deep) + 1 ) ,
(psrcBmp + x3 + y*bpl(nsrcBmpWidth, deep) +0 ));
}
else if (deep == 1)
{
return (psrcBmp + x + ybpl(nsrcBmpWidth, deep));
}
}
//获取标准矩(只支持8位灰度图)
void GetStdMoment(BYTE *psrcBmp ,
int nsrcBmpWidth,
int nsrcBmpHeight,
double m)
{
for ( int p = 0 ; p < 2 ; p++ )
for ( int q = 0 ; q < 2 ; q++ )
{
if( p == 1 && q == 1)
break;
for ( int y = 0 ; y < nsrcBmpHeight ; y++ )
for ( int x = 0 ; x < nsrcBmpWidth ; x++ )
m[p2+q] += (pow( (double)x , p ) * pow( (double)y , q ) * J_getpixel(psrcBmp , nsrcBmpWidth , x ,y, 1));
}
}
//阶乘
double Factorial( int n )
{
if( n < 0 )
return -1;
double m = 1;
for(int i = 2 ; i <= n ; i++)
{
m *= i;
}
return m;
}
//阶乘数，计算好方便用，提高速度
double factorials[11] = {1 , 1 , 2 , 6 , 24 , 120 , 720 , 5040 , 40320 , 362880 , 39916800};
//把图像映射到单位圆，获取像素极坐标半径
double GetRadii(int nsrcBmpWidth,
int nsrcBmpHeight,
int x0,
int y0,
int x,
int y)
{
double lefttop = sqrt(((double)0 - x0)(0 - x0) + (0 - y0)(0 - y0));
double righttop = sqrt(((double)nsrcBmpWidth - 1 - x0)(nsrcBmpWidth - 1 - x0) + (0 - y0)(0 - y0));
double leftbottom = sqrt(((double)0 - x0)(0 - x0) + (nsrcBmpHeight - 1 - y0)(nsrcBmpHeight - 1 - y0));
double rightbottom = sqrt(((double)nsrcBmpWidth - 1 - x0)(nsrcBmpWidth - 1 - x0) + (nsrcBmpHeight - 1 - y0)(nsrcBmpHeight - 1 - y0));
double maxRadii = lefttop;
maxRadii < righttop ? righttop : maxRadii;
maxRadii < leftbottom ? leftbottom : maxRadii;
maxRadii < rightbottom ? rightbottom : maxRadii;
double Radii = sqrt(((double)x - x0)*(x - x0) + (y - y0)*(y - y0))/maxRadii;
if(Radii > 1)
{
Radii = 1;
}
return Radii;
}
//把图像映射到单位圆，获取像素极坐标角度
double GetAngle(int nsrcBmpWidth,
int nsrcBmpHeight,
int x,
int y)
{
double o;
double dia = sqrt((double)nsrcBmpWidth*nsrcBmpWidth + nsrcBmpHeight*nsrcBmpHeight);
int x0 = nsrcBmpWidth / 2;
int y0 = nsrcBmpHeight / 2;
double x_unity = (x - x0)/(dia/2);
double y_unity = (y - y0)/(dia/2);
if( x_unity == 0 && y_unity >= 0 )
o=pi/2;
else if( x_unity ==0 && y_unity <0)
o=1.5*pi;
else
o=atan( y_unity / x_unity );
if(o*y<0) //第三象限
o=o+pi;
return o;
}
//Zernike不变矩
J_GetZernikeMoment(BYTE *psrcBmp ,
int nsrcBmpWidth,
int nsrcBmpHeight,
double *Ze )
{
double R[count][count] = {0.0};
double V[count][count] = {0.0};
double M[4] = {0.0};
GetStdMoment(psrcBmp , nsrcBmpWidth , nsrcBmpHeight , M);
int x0 = (int)(M[2]/M[0]+0.5);
int y0 = (int)(M[1]/M[0]+0.5);
for(int n = 0 ; n < count ; n++)
{
for (int m = 0 ; m < count ; m++)
{
//优化算法，只计算以下介数
if( (n == 1 && m == 0) ||
(n == 1 && m == 1) ||
(n == 2 && m == 0) ||
(n == 2 && m == 1) ||
(n == 2 && m == 2) ||
(n == 3 && m == 0) ||
(n == 3 && m == 1) ||
(n == 3 && m == 2) ||
(n == 3 && m == 3) ||
(n == 4 && m == 0) ||
(n == 4 && m == 1) ||
(n == 4 && m == 2) ||
(n == 4 && m == 3) ||
(n == 4 && m == 4))
{
for(int y = 0 ; y < nsrcBmpHeight ; y++)
{
for (int x = 0 ; x < nsrcBmpWidth ; x++)
{
for(int s = 0 ; (s <= (n - m)/2 ) && n >= m ; s++)
{
R[n][m] += pow( -1.0, s )
* ( n - s > 10 ? Factorial( n - s ) : factorials[ n - s ] )
* pow( GetRadii( nsrcBmpWidth, nsrcBmpHeight, x0, y0, x, y ), n - 2 * s )
/ ( ( s > 10 ? Factorial( s ) : factorials[ s ] )
* ( ( n + m ) / 2 - s > 10 ? Factorial( ( n + m ) / 2 - s ) : factorials[ ( n + m ) / 2 - s ] )
* ( ( n - m ) / 2 - s > 10 ? Factorial( ( n - m ) / 2 - s ) : factorials[ ( n - m ) / 2 - s ] ) );
}
Ze[ n * count + m ] += R[ n ][ m ]
* J_getpixel( psrcBmp, nsrcBmpWidth, x ,y, 1)
* cos( m * GetAngle( nsrcBmpWidth, nsrcBmpHeight, x, y) );//实部
V[n][m] += R[ n ][ m ]
* J_getpixel( psrcBmp, nsrcBmpWidth, x, y, 1)
* sin( m * GetAngle( nsrcBmpWidth, nsrcBmpHeight, x, y ) );//虚部
R[n][m] = 0.0;
}
}
*(Ze+n*count + m) = sqrt( (*(Ze+n*count + m))*(*(Ze+n*count + m)) + V[n][m]*V[n][m] )*(n+1)/pi/M[0];
}
}
}
}