层次分析法（AHP）

                    层次分析法（AHP）

层次分析法的应用领域：决策问题，例如旅游，买衣服，居住等问题的决策，这是一种 定性加定量相结合的，系统化，层次化的分析方法。
层次分析法的基本步骤：
例如：某人打算假期去旅游，假如有p1,p2,p3 3个旅游胜地供选择，有景色，费用和居住，饮食和旅途这5种指标，利用层次分析法求得最佳的旅游目的地。
1) 定义目标层 准则层 方案层

2）成对比矩阵
旅游问题中比较5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性，每车次取两个因素Ci和Cj对O的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵
(1)
由于（1）式给出的的特点（是的倒数，即为正反数）,A称为正反矩阵。显然必有=1.用C1,C2,C3,C4,C5表示景色，费用，居住，伙食，旅游5个准则，设某人用成对比较法的道德成对比矩阵为
(2）
可以看到每个因素相对与另一个因素的比重，比较可以发现，既然C1与C2之比为1：2，C1与C3之比为4：1，那么C2与C3之比应为8：1而不是7：1，才能说明成对比较是一致的，这时需要一致性检验。

一般的，如果一个正反矩阵A满足

则A称为一致性矩阵，简称一致阵。n阶一致阵A具有下列性质：
1.A的秩为1，A的唯一非零特征根为n；
2.A的任一列向量都是对应于特征值n的特征向量。
3）一致性检验
矩阵A的特征根（记作）的特征向量（归一化）作为权向量W,即W满足
AW=W
定理表明：n阶正反矩阵A的最大特征>=n，而当=n时A是一致阵。
根据这个定理连续地的事实可知，比n大的多，A的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大。
当符合一致性时认为A的不一致程度在容许范围之内，可用其作为特征向量

4）组合权向量
在旅游问题中我们已经得到了第2层对于第一层的权向量，记作.同同样的方法构造第三层对第二层的成对比较矩阵，不妨设他们为

由第三层的成对比较矩阵计算出权向量，最大特征
和一致性指标,结果如下

可以看出，当n=3时随机一致性指标RI=0.58,所以上面的均可以通过一致性检验。
下面的问题即为各准则对目标的权向量和个方案对每一准则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量。
方案P1=0.595×0.263+0.082×0.475+0.429×0.055+0.633×0.099+0.166×0.110=0.300
同理 P2=0.246 P3=0.456 应选第一选择点。

文章借鉴《数学建模》第四版 姜启源 谢金星 叶俊编