图论（1）---图的基本概念

1、图的定义及表示

       定义：图是一集元素（顶点集）和各元素之间的关系（边集）

       表示：图G  = ( V , E)    这个二元组中，V表示点集，E表示边集

                  例如： V = {v1,v2,v3,v4}    E = {(v1,v2),(v2,v3),(v1,v4)}   

                  可见，边是由它所连接的两个顶点确定的

2、相关概念、术语

阶：图G的顶点的数目

环边：两端点重合

重边：直接连接两个顶点u ,v， 有两条，或者两条以上的边

简单图：无环边，无重边 的 图

完全图：两个条件（1）任何两个顶点之间都有一条边 （2） 简单图

平凡图：只有一个顶点，边集为空

空图：边集为空

度：顶点关联的边的数目，是每个顶点都有的一个属性

最大度：图G所有顶点度的最大值

最小度：同理

正则图：图G所有顶点的度都相等

补图：和图G拥有同一顶点集，但是不包含图G包含的任何边，除此之外，把该顶点集其他的所有可能的边都包含在内。（类比 补集的概念）

子图：图H是图G 的子图，则图H所有的顶点都包含在图G的顶点集中，边也同理

生成子图：图H是图G 的子图，并且 图H 拥有 和图G相同的顶点集

点导出子图：从图G中抽出一部分顶点作为 子图的顶点集，以这些顶点做端点的边 作为 边集

边导出子图：从图G中抽出一部分边作为 子图的边集，这些边所关联的顶点 作为子图的顶点集

路：顶点不重复出现的，边也不重复出现的，点边接续交替出现的序列。

环（圈）：中途点不重复的，边也不重复的，起点和终点相同，点边接续交替出现的序列

路和环的长度：边的数目

最短路（距离）：顶点u 和 v 之间，具有最小长度的路

奇圈：简单图中，长度为奇数的圈

偶圈：简单图中，长度为偶数的圈

简单图 围长: 最短圈的长度

简单图 周长：最长圈的长度

二部图：对图G顶点集的一个划分，划分为两个非空子集X,Y后，图G任意一条边的两个顶点，分别来自于这两个非空子集

完全二部图：子集X的每个顶点与子集Y的所有顶点都有边的连接

联通性：图G任意两个顶点之间 都有路

3 、同构：

     顶点和边都一一对应，并且连接关系完全相同，只是顶点和边的名称不同，成为同构。

     同构是一种等价关系，可将n阶图分为若干等价类（满足反身性，对称性，传递性），同一类中的图具有相同的结构，可以看作同一个图（忽略名称的差异）

    两图同构需要满足的一些必要条件：（1）阶必须相等（2）边数必须相等（3）有相同的环边、重边、圈的状态（4）对应顶点的度相等

    同构判断：一般要构造顶点间的一一映射，然后考察邻接关系是否相同。目前还没有简便的办法。判断不同构相对比较容易，只要在必要条件中，任意找出不满足的部分，则不同构成立

 

4、图的中心与中位点：

  顶点有赋权的图

（1）我们的研究对象是这样的一个图：

            图G是一个赋权图，每条边上都有一个非负权值，每个顶点也有一个非负权值，d(u,v)是考虑边赋权下，u,v之间的最短路

（2） 概念

    图G的半径 radius：（1）找出任意顶点到其他所有顶点最短路的最大值 （2）在这些最大值中，取最小值

    图G的直径 diameter ：（1）找出任意顶点到其他所有顶点最短路的最大值 （2）在这些最大值中，取最大值

   顶点u的离心率:    e(u)  = max  q(v)*d(u,v)  其中，v是图G中任意一个顶点 ，q(v）为顶点v的权值

                              (1)找出顶点u到其他所有顶点的最短路，乘以对应顶点的权值 （2）在这些乘积中，取最大值

   图G的中心(center)：具有最小离心率的点

  图G的中位点（中值，重心）median：设g(u)  =   其中，q(v）为顶点v的权值。min g(u) 的顶点就是中位点

  图的中心，中位点一般并不唯一， 中心、中位点也不一定相同

  

   顶点无赋权的图

（1）我们的研究对象是这样的一个图：

            图G'是一个赋权图，每条边上都有一个非负权值，d(u,v)是考虑边赋权下，u,v之间的最短路

（2） 概念    

    顶点u的离心率:    e(u)  = max d(u,v)  其中，v是图G中任意一个顶点 

                              (1)找出顶点u到其他所有顶点的最短路 （2）取最大值

    图G'的半径 radius：所有顶点离心率的最小值

    图G'的直径 diameter ：所有顶点离心率的最大值 

    图G'的中心(center)：具有最小离心率的点

    图G'的中位点（中值，重心）median：设g(u)  =   ，min g(u) 的顶点就是中位点

   

  求图G中心点的算法：

   输入：赋权图G，各顶点的权q(v) 

   输出： G的中心

    第一步：利用最短路法求出G中所有顶点之间的距离，得到距离矩阵 

    第二步：对矩阵的每一列，乘以对应顶点的权值；然后，找出每行中乘积最大的那个值，即是该行对应顶点的离心率

    第三步：比较所有顶点的离心率，找出离心率最小的点(不一定唯一）

    第四步：输出这些点

 

求图G的中位点的算法 ：

   输入：赋权图G，各顶点的权q(v) 

   输出： G的中位点

   第一步：利用最短路法求出G中所有点之间的距离，得到距离矩阵

   第二步：对矩阵的每一列乘以对应顶点的权值；然后，对每一行求和，得到g(u)  =

   第三步：比较g(u)所有值，找到最小值点（可能不唯一）

   第四步：返回这些点

 

5、图的矩阵表示

     研究对象：图G = （V,E）,V={v1,v2,...vn} ,  E={e1,e2,e3,...,em} 

    (1)关联矩阵M(G)：以V中各顶点为行，E中各边为列，构造的矩阵。矩阵的元素表示 顶点和边的关联次数（关联，就是顶点是该边的端点）

 （2）邻接矩阵A(G):分别以V中各顶点为行 和 列 ，构造的矩阵。矩阵元素表示 顶点和顶点之间相邻的次数（相邻：两顶点共同作为一条边的端点）

（3）关于关联矩阵和邻接矩阵的一些特性：

 a)关联矩阵

简单图的关联矩阵，元素只有0和1， 元素超过1则说明对应的边是环边

每列元素的和，都是2

每行元素的和，等于对应顶点的度

 b)邻接矩阵

邻接矩阵是对称矩阵

每行（或者列）元素之和，等于对应顶点的度

简单图的邻接矩阵，元素只有0和1，元素超过1则说明两顶点之间有重边

简单图的邻接矩阵，对角线元素均为0，如果不全为零则说明有环

（4）关联矩阵和邻接矩阵的一些推论

a) A是n阶图G的邻接矩阵， （0 代表从顶点i到顶点j ，所有长度为m的途径的数目。

     因此，在不断乘以矩阵A的过程中，记录了所有的每两个顶点间长度为m的路径的数目

b)   的对角线元素 的值，等于对应的顶点i的度

      的对角线元素 的值，等于包含顶点的三角形数目的2倍

     图G中所有的三角形的数目，等于 的对角线元素之和除以6（因为每个三角形3个顶点，相当于每个三角形被记录了3 次，再乘以每个将包含顶点的三角形数目记录了2次，所以要除以6）

c) 连通图G，图中任意不同的两个顶点  ,    的距离等于，使得 中 的最小的整数m。（这个结论很明显，直到m,顶点  ,    才有了最小长度的途径，那么它也一定是最短路）

d) 从不同的两个顶点  ,   ，长度不超过k的途径的数目，等于  的元素  的值

e) A 是n(n>=3) 阶图G的邻接矩阵，  , 则A是联通图的充要条件是 R中每个元素都不为0.

     证：必要性：显然，若A是连通的，则每两个相异元素之间都是有长度为l 的路，R非对角线元素均不为零；另外，  的对角线元素 的值，代表的是每个顶点的度，也都是非零的，所以R中的元素必然非0.

            充分性：R中  不为0 ，意味着不同的两个顶点  ,   之间至少有长度为  的1条途径，也就是说，至少有长度小于等于k的最短路。所以A是联通的

f) G是点和边都无权的连通图，A是G邻接矩阵，  ,求G的顶点 的离心率 ,等于使得第i行没有零元素的最小k值。

证：很显然，求离心率，要找的是顶点所有最短路的最大值。最小k值，使得第i行某些元素刚好不为零，这个值一定是顶点到该点的最短路（因为没有小于长度k的途径，k就是最小的途径）。显然，那些早已经变成非0的元素对应的顶点到的最短路一定是小于k的。 因此，这个 最小k值就是顶点的离心率了

g) G是连通图，A是G邻接矩阵，  ,求G的半径rad(G) ,等于使得矩阵中，至少有一行没有零元素的最小k值。（也就是，在k逐步增加的过程，第一次出现某行（或者某些行）没有零元素的k值）

证：不妨设图G所有点的权值均为1,这样就可以借助离心率的概念了。此时，半径rad(G)是所有点离心率的最小值，当k增加的过程中，第一次元素全部非零的行，获得了其对应元素的离心率(当时的k值）。由于我们要得到的是所有点离心率的最小值，只要找到第一次有某些行出现所有元素非零时的k值，这个k值一定是离心率的最小值。证毕

h) G是连通图，A是G邻接矩阵，  ,等于使得矩阵没有零元素的最小k值。

    证：显然，求直径diam(G) 就是求所有顶点离心率的最大值。因此只要找到使得所有行都没有零元素的最小k值，这个k值，就是所有离心率的最大值了