消防车调度问题 ：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

问题描述： 某市消防中心同时接到了三处火警电话。根据当前的火势，三处火警地点分 别需要 2 辆、2 辆和 3 辆消防车前往灭火。三处火警地点的损失将依赖于消防车到达的及时程度：记  为第 j 辆消防车到达火警地点i的时间，则三处火警地点的损失分别为

   ; 。目前可供消防中心调度的消防车正好有 7辆，分别属于三个消防站（可用消防车数量分别为 3 辆、2 辆、2 辆）。消防车从三个消 防站到三个火警地点所需要的时间如表 6 所示。应如何调度消防车，才能使总损失最 小？ 

问题二：如果三处火警地点的损失分别为 ；，调度方案是否需要改变？

 

（1）问题分析

本题考虑的是为每个火警地点分配消防车的问题，初步看来与线性规划中经典的运输问题有些类似。本题的问题可以看成是指派问题和运输问题的一种变形，我们下面首先把它变成一个运输问题建模求解。

（2）决策变量

为了用运输问题建模求解，我们很自然地把 3 个消防站看成供应点。如果直接把 3 个火警地点看成需求点，我们却不能很方便地描述消防车到达的先后次序，因此难以确 定损失的大小。下面我们把 7 辆车的需求分别看成 7 个需求点（分别对应于到达时间 . 用   表示消防站i是否向第 j 个需求点派车（1 表示派车，0表示不派车），则共有 21 个  0−1 变量.

（3）模型建立

题目中给出的损失函数都是消防车到达时间的线性函数，所以由所给数据进行简 单的计算可知，如果消防站 1 向第 6 个需求点派车（即消防站 1 向火警地点 3 派车但该 消防车是到达火警地点 3 的第二辆车），则由此引起的损失为 72 98 = × 。同理计算，可以得到损失矩阵如表 7 所示（元素分别记为  ）。 

于是，使总损失最小的决策目标为

                     ( 1 )

约束条件：

约束条件有两类，一类是消防站拥有的消防车的数量限制，另一类是 各需求点对消防车的需求量限制。 
记   （ i=1,2,3 ）为第i个消防站拥有消防车的数量，则消防站拥有的消防车的数量限制可以表示为 
                        (  2 )

各需求点对消防车的需求量限制可以表示为 

           (  3 )

（4）模型求解 的lingo代码

MODEL: 
TITLE 消防车问题; 
SETS: 
supply/1..3/:b; 
need/1..7/; 
links(supply,need):c,x; 
ENDSETS 
[OBJ]Min=@sum(links:c*x); 
@FOR(supply(i):@sum(need(j):x(i,j))=b(i)); 
@FOR(need(j):@sum(supply(i):x(i,j))=1); 
DATA: 
b=3,2,2; 
c=36,24,49,21,81,72,45   
    30,20,56,24,99,88,55   
    36,24,63,27,90,80,50; 
ENDDATA 
END 

求得结果为，消防站 1 应向火警地点 2 派 1 辆车，向火警地点 3 派 2 辆车；消防站 2 应向火警地点 1 派 2 辆车；消防站 3 应向火警地点 2、3 各派 1 辆车。最小总损失 为 329。

（5）讨论

1）这个问题本质上仍然和经典的运输问题类似，可以把每辆车到达火场看做需求点，消防站看做供应点。在上面模型中，我们虽然假设   为 0− 1变量，但求解时是采用线性规划求解的，也就是说没有加上 为 0− 1 变量或整数变量的限制条件，但求解得到的结果中   正好是 0−1 变量。这一结果不是偶然的，而是运输问题特有的一种性质.

2 ）在上面模型中，没有考虑消防车到达各火警地点的先后次序约束，但得到的结果正好满足所有的先后次序约束，这一结果不是必然的，而只是巧合。如对例题后半部 分的情形，结果就不是这样了。显然，此时只需要修改损失矩阵如表 8 所示（所示（元素仍然分别记为  )

此时重新将式（ 1 )-( 3 ) 构成的线性规划模型输入 LINGO 求解，可以得到新的最优解： 其它变量为 0（最小总损失仍为 329）

实际上，损失矩阵中只是 1、2 列交换了位置，3、4 列交换了位置，5、7 列 交换了位置，因此不用重新求解就可以直接看出以上新的最优解。 

但是，以上新的最优解却是不符合实际情况的。例如，  表明火警地点2 的第一辆消防车来自消防站 3，第二辆消防车来自消防站 1，但这是不合理的，因为 火警地点 2 与消费站 3 有 9min 的距离，大于与消防站 1 的 7min 的距离。分配给火警 地点 3 的消防车也有类似的不合理问题。为了解决这一问题，我们必须考虑消防车到达 各火警地点的先后次序约束，也就是说必须在简单的运输问题模型中增加一些新的约 束，以保证以上的不合理问题不再出现。

首先考虑火警地点 2。由于消防站 1 的消防车到达所需时间（7min）小于消防站 2 的消防车到达所需时间（8 分钟），并都小于消防站 3 的消防车到达所需时间（9 分钟）， 因此火警地点 2 的第二辆消防车如果来自消防站 1，则火警地点 2 的第 1 辆消防车也一 定来自消防站 1；火警地点 2 的第 2 辆消防车如果来自消防站 2，则火警地点 2 的第 1 辆消防车一定来自消防站 1 或 2。因此，必须增加以下约束：   (  4 )

同理，对火警地点 1，必须增加以下约束:    (  5 )

对火警地点 3，必须增加以下约束:     ( 6 )

重新将式（1）～（6）构成的整数规划模型（   是 1 0− 变量）输入 LINGO 软件如下:

MODEL: 
TITLE 消防车问题; 
SETS: 
supply/1..3/:b; 
need/1..7/; 
links(supply,need):c,x; 
ENDSETS 
[OBJ]Min=@sum(links:c*x); 
@FOR(supply(i):@sum(need(j):x(i,j))=b(i)); 
@FOR(need(j):@sum(supply(i):x(i,j))=1); 
x(1,4)

求解可以得到： ，其它变量为 0（最小总损失仍为 335）。也就是说，消防站 1 应向火警地点 2 派 2 辆车，向火警地点 3 派 1 辆车；消防站 2 应向火警地点 1 派 2 辆车；消防站 3 应向火警地点 3 派 2 辆车。经过检 验可以发现，此时的派车方案是合理的。