【BZOJ 3576】 [Hnoi2014]江南乐

3576: [Hnoi2014]江南乐

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Description

小A是一个名副其实的狂热的回合制游戏玩家。在获得了许多回合制游戏的世界级奖项之后,小A有一天突然想起了他小时候在江南玩过的一个回合制游戏。 游戏的规则是这样的,首先给定一个数F,然后游戏系统会产生T组游戏。每一组游戏包含N堆石子,小A和他的对手轮流操作。每次操作时,操作者先选定一个不小于2的正整数M (M是操作者自行选定的,而且每次操作时可不一样),然后将任意一堆数量不小于F的石子分成M堆,并且满足这M堆石子中石子数最多的一堆至多比石子数最少的一堆多1(即分的尽量平均,事实上按照这样的分石子万法,选定M和一堆石子后,它分出来的状态是固定的)。当一个玩家不能操作的时候,也就是当每一堆石子的数量都严格小于F时,他就输掉。(补充:先手从N堆石子中选择一堆数量不小于F的石子分成M堆后,此时共有N+M-1)堆石子,接下来小A从这N+M-1堆石子中选择一堆数量不小于F的石子,依此类推。
小A从小就是个有风度的男生,他邀请他的对手作为先手。小A现在想要知道,面对给定的一组游戏,而且他的对手也和他一样聪明绝顶的话,究竟谁能够获得胜利?

Input

输入第一行包含两个正整数T和F,分别表示游戏组数与给定的数。
接下来T行,每行第一个数N表示该组游戏初始状态下有多少堆石子。之后N个正整数,表示这N堆石子分别有多少个。

Output

输出一行,包含T个用空格隔开的0或1的数,其中0代表此时小A(后手)会胜利,而1代表小A的对手(先手)会胜利。

Sample Input

4 3

1 1

1 2

1 3

1 5

Sample Output

0 0 1 1

HINT

对于100%的数据,T<100,N<100,F<100000,每堆石子数量<100000。

以上所有数均为正整数。

博弈论。

每一堆石子是独立的子游戏,我们考虑一堆石子。

他的后继状态就是被分成的 m 堆的异或值。

如果暴力来算:
枚举分成的堆数,对每一堆的值求异或和,时间是 O(2) ,会超时。

因此需要运用一点数学知识来解决:
当前堆的石子个数为 i ,那么他分成 j 堆后会有 nk=ji%k 堆个数为 k=i/j 的的石子;还会有 nk1=i%k 堆个数为 k+1 的石子。

举个例子,当 i=100 j=34 时, k=2 j=50 是, k=2 ,也就是说在 3450 这一段区间内,每堆的石子个数都是 2 3 ,那么在这段区间内求得的sg值都是 [(nk & 1)sg[2]]XOR[(nk1 & 1)sg[3]]
【堆数为偶数的时候异或偶数次相当于0】

可是在这段区间内什么时候 nk 为奇数,什么时候 nk1 为奇数呢?

nk1=ikj ,因为 i,k 已经确定, nk1 只取决于 j 的奇偶性,而 nk1 确定 nk 就确定了,所以只需要枚举前两个 j 即可。

所以,最终计算一堆个数为 i 的时间复杂度为 O(i)
(因为 i 除以 1 i 的数只有 i )

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define M 100100
using namespace std;
int sg[M],v[M],T,f;
void Prepare()
{
    for (int i=0;i0;
    for (int i=f;i<=M-100;i++)
    {
        int pos;
        for (int j=2;j<=i;j=pos+1)
        {
            int k=i/j;
            pos=i/k;
            int nk1=i%j,nk=j-nk1;
            v[sg[(nk&1)*k]^sg[(nk1&1)*(k+1)]]=i;
            if (j+1<=min(i,pos))
            {
                nk1=i%(j+1),nk=j+1-nk1;
                v[sg[(nk&1)*k]^sg[(nk1&1)*(k+1)]]=i;
            }
        }
        for (int j=0;;j++)
            if (v[j]!=i)
            {
                sg[i]=j;
                break;
            }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&T,&f);
    Prepare();
    while (T--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        int ans=0,x;
        for (int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&x),ans^=sg[x];
        if (!T) printf("%d\n",!ans?0:1);
        else printf("%d ",!ans?0:1);
    }
    return 0;
}

这里写图片描述

感悟:
一开始WA是因为没有对奇偶性分析清楚。

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