【BZOJ 3576】 [Hnoi2014]江南乐
3576: [Hnoi2014]江南乐
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Description
小A是一个名副其实的狂热的回合制游戏玩家。在获得了许多回合制游戏的世界级奖项之后，小A有一天突然想起了他小时候在江南玩过的一个回合制游戏。 游戏的规则是这样的，首先给定一个数F，然后游戏系统会产生T组游戏。每一组游戏包含N堆石子，小A和他的对手轮流操作。每次操作时，操作者先选定一个不小于2的正整数M (M是操作者自行选定的，而且每次操作时可不一样)，然后将任意一堆数量不小于F的石子分成M堆，并且满足这M堆石子中石子数最多的一堆至多比石子数最少的一堆多1（即分的尽量平均，事实上按照这样的分石子万法，选定M和一堆石子后，它分出来的状态是固定的）。当一个玩家不能操作的时候，也就是当每一堆石子的数量都严格小于F时，他就输掉。(补充：先手从N堆石子中选择一堆数量不小于F的石子分成M堆后，此时共有N+M-1)堆石子，接下来小A从这N+M-1堆石子中选择一堆数量不小于F的石子，依此类推。
小A从小就是个有风度的男生，他邀请他的对手作为先手。小A现在想要知道，面对给定的一组游戏，而且他的对手也和他一样聪明绝顶的话，究竟谁能够获得胜利？
Input
输入第一行包含两个正整数T和F，分别表示游戏组数与给定的数。
接下来T行，每行第一个数N表示该组游戏初始状态下有多少堆石子。之后N个正整数，表示这N堆石子分别有多少个。
Output
输出一行，包含T个用空格隔开的0或1的数，其中0代表此时小A（后手）会胜利，而1代表小A的对手（先手）会胜利。
Sample Input
4 3
1 1
1 2
1 3
1 5
Sample Output
0 0 1 1
HINT
对于100%的数据，T<100，N<100，F<100000，每堆石子数量<100000。
以上所有数均为正整数。
博弈论。
每一堆石子是独立的子游戏，我们考虑一堆石子。
他的后继状态就是被分成的 m 堆的异或值。
如果暴力来算：
枚举分成的堆数，对每一堆的值求异或和，时间是 O(石子数量2) ，会超时。
因此需要运用一点数学知识来解决：
当前堆的石子个数为 i ，那么他分成 j 堆后会有 nk=j−i%k 堆个数为 k=i/j 的的石子；还会有 nk1=i%k 堆个数为 k+1 的石子。
举个例子，当 i=100 j=34 时， k=2 ； j=50 是， k=2 ，也就是说在 34−50 这一段区间内，每堆的石子个数都是 2 和 3 ，那么在这段区间内求得的sg值都是 [(nk & 1)∗sg[2]]XOR[(nk1 & 1)∗sg[3]]
【堆数为偶数的时候异或偶数次相当于0】
可是在这段区间内什么时候 nk 为奇数，什么时候 nk1 为奇数呢？
nk1=i−k∗j ，因为 i,k 已经确定， nk1 只取决于 j 的奇偶性，而 nk1 确定 nk 就确定了，所以只需要枚举前两个 j 即可。
所以，最终计算一堆个数为 i 的时间复杂度为 O(i√)
(因为 i 除以 1 到 i 的数只有 i√个取值 )
#include 0;
for (int i=f;i<=M-100;i++)
{
int pos;
for (int j=2;j<=i;j=pos+1)
{
int k=i/j;
pos=i/k;
int nk1=i%j,nk=j-nk1;
v[sg[(nk&1)*k]^sg[(nk1&1)*(k+1)]]=i;
if (j+1<=min(i,pos))
{
nk1=i%(j+1),nk=j+1-nk1;
v[sg[(nk&1)*k]^sg[(nk1&1)*(k+1)]]=i;
}
}
for (int j=0;;j++)
if (v[j]!=i)
{
sg[i]=j;
break;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&T,&f);
Prepare();
while (T--)
{
int n;
scanf("%d",&n);
int ans=0,x;
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&x),ans^=sg[x];
if (!T) printf("%d\n",!ans?0:1);
else printf("%d ",!ans?0:1);
}
return 0;
} 
感悟：
一开始WA是因为没有对奇偶性分析清楚。