面试顺序问题：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

例题： 有 4 名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先 找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即 在任何一个阶段 4 名同学的顺序是一样的）。由于 4 名同学的专业背景不同，所以每人 在三个阶段的面试时间也不同，如表 5 所示。这 4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨 8:00，请问他们最早何时能离开公司？

 1 建立模型 

   实际上，这个问题就是要安排 4 名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时 间最少。 

记  为第i名同学参加第 j 阶段面试需要的时间（已知），令   表示第i名同学参加第 j 阶段面试的开始时间（不妨记早上 8:00 面试开始为 0 时刻） （i=1,2,3,4 ; j =1,2,3），T 为完成全部面试所花费的最少时间。 

 优化目标为                            （1）

约束条件：

1）时间先后次序约束（每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段）：                                （2）

2 ）每个阶段 j 同一时间只能面试 1 名同学：用  0− 1 变量  表示第k 名同学是否 排在第i名同学前面（1 表示“是”，0 表示“否”），则 

    （3）

可以将上述非线性的优化目标（1） 改写为如下线性优化目标：

                   （4）

式（2）～（4）就是这个问题的  0−1  非线性规划模型（当然所有变量还有非负约束，变量   还有  0− 1约束）。 

2  求解模型 

编写 LINGO 程序如下：

model:
Title 面试问题; 
SETS: Person/1..4/; 
Stage/1..3/; 
PXS(Person,Stage): T, X; 
PXP(Person,Person)|&1 #LT# &2: Y; 
ENDSETS 
DATA: 
T=13, 15, 20, 10 , 20 , 18, 20, 16, 10, 8, 10, 15; 
ENDDATA 
[obj] min=MAXT; 
MAXT>= @max(PXS(i,j)|j#EQ#@size(stage):x(i,j)+t(i,j)); 
! 只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段; 
@for(PXS(i,j)|j#LT#@size(stage):[ORDER]x(i,j)+t(i,j)

计算结果为，所有面试完成至少需要 84min，面试顺序为 4－1－2－3（丁－甲－ 乙－丙）。早上 8:00 面试开始，最早 9:24 面试可以全部结束。