为什么-1的补码是全1(11111111)？-128的补码是10000000？

首先需要知道：二进制补码表示的正数实际上左侧有无限多个0，而负数有无限多个1.只是为了适应硬件的宽度，二进制表示的数的前导位被隐藏了。

举例

下面看一下64位的 $-4_{ten}$的补码（以64位机器（机器里面存的是补码）为例）：

$00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000100_{two}=[4{]}_{补}$
$11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111100_{two}=[-4{]}_{补}$
下标two表示二进制，下标ten表示十进制。

我们把$[-4{]}_{补}$和$[4{]}_{补}$相加会得到什么呢？

$$\begin{gathered} [-4{]}_{补}+[4{]}_{补}=00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000100_{two} \\ +11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111100_{two} \\ =1,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000100_{two} \end{gathered}$$
我们发现 64位补码相加得到$2^{64}$!

下面求8位的 $-4_{ten}$的补码

已知 有符号数 $-4_{ten}=10000100_{two}$,

根据口诀:负数的补码=负数的原码取反(符号位不变，数据位取反)+1
可以得到：$[-4{]}_{补}=11111011_{two}+00000001_{two}=11111100_{two}$,

而$4_{ten}$的补码仍然是原码，即$[4{]}_{补}=00000100_{two}$,

我们把$[-4{]}_{补}$和$[4{]}_{补}$相加会得到什么呢？

$[-4{]}_{补}+[4{]}_{补}=11111100_{two}+00000100_{two}=1,00000000$

我们发现 8位补码相加得到$2^8$!

归纳

二进制补码得名于下述规则：一个n位的数与其n位的相反数做无符号加法，结果为$2^n$,因此，x的相反数（或相补数）-x 等于$2^n-x$,或叫“二进制补码”。

以n=8位为例，1的二进制表示为00000001，则 -1的二进制补码可以由上面的公式写出来
$[-1{]}_{补}=2^n-1=2^8-1=1,00000000-00000001=11111112-00000001=11111111$
注：这里11111112仅仅是方便计算，实际二进制中逢二进一，还是100000000.

同样的，我们来看-128的情况。

对于$128_{ten}=2^7=10000000$ ,这里的n=8，根据补码的定义：

$[-128{]}_{补}=2^8-128=1,00000000-10000000=11111112-10000000=10000000$

综上，求1个负数(-x)的补码，只需要用$2^n-x$即可，这里的n表示这个负数的二进制表示位数。

后记：这个问题在《计算机组成与设计-硬件/软件接口》一书中有详细的解释。