舒尔补/schur补

n x n 的矩阵可以写成分块形式：$$M={\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}_{n\times n}$$其中 A 和 D 为方阵。

• 若 A 是非奇异的，则 A 在 M 中的舒尔补为： $D-C{A}^{-1}B$
• 若 D 是非奇异的，则 D 在 M 中的舒尔补为： $A-B{D}^{-1}C$

要记住上面的形式很容易，只要记住字母顺序 DCAB、ABDC 都是在 M 中顺时针排列的。

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若 A 非奇异，则有

$$\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ -C{A}^{-1}& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I& -A^{-1}B\\ 0& I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& D-C{A}^{-1}B\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$
上式可以看作对矩阵 M 实施分块矩阵的初等行列变换。由 (1) 可得$$\left|\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& D-C{A}^{-1}B\end{array}\right|=|A||D-C{A}^{-1}B|$$此时$$M非奇异⟺D-C{A}^{-1}B非奇异$$
同理，当 D 非奇异时$$M非奇异⟺A-B{D}^{-1}C非奇异。$$

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分块矩阵的逆

由式 (1) 还可以方便地求得分块矩阵的逆。
$${\left[\begin{array}{cc}I& -A^{-1}B\\ 0& I\end{array}\right]}^{-1}{\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}^{-1}{\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ -C{A}^{-1}& I\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& 0\\ 0& (D-C{A}^{-1}B{)}^{-1}\end{array}\right]$$因而$${\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}I& -A^{-1}B\\ 0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& 0\\ 0& (D-C{A}^{-1}B{)}^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ -C{A}^{-1}& I\end{array}\right]$$