关于p分数反常积分的收敛与发散

p分数的积分： $$\int \frac{1}{x^p}dx$$

在(0,1]上的瑕积分

$${\int }_0^1\frac{1}{x^p}dx=\underset{u\to 0^{+}}{\lim }{\int }_u^1\frac{1}{x^p}dx$$
而 $${\int }_u^1\frac{1}{x^p}dx=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1-p}(1-u^{1-p})& p̸=0\\ -\ln u& p=1\end{array}$$
$${\int }_0^1\frac{1}{x^p}dx=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1-p}& 0<p<1\\ +\infty & p\ge 1\end{array}$$

在$[1,+\infty )$上的无穷限反常积分

$${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx=\underset{u\to +\infty }{\lim }{\int }_1^u\frac{1}{x^p}dx$$
而$${\int }_1^u\frac{1}{x^p}dx=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1-p}(u^{1-p}-1)& p̸=0\\ \ln u& p=1\end{array}$$
$\Rightarrow$ $${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{p-1}& p>1\\ +\infty & p\le 1\end{array}$$

结论

• 当$p=1$时俩积分都发散！
• $${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx发散$$因为$(0,1]和[1,+\infty )$收敛不可兼得！
• $p>1$时在$[1,+\infty )$收敛$\Rightarrow$$p<1$在(0,1]上收敛

提问？

请问${\int }_a^{+\infty }\frac{\sin x}{x^p}dx$和${\int }_a^{+\infty }\frac{\cos x}{x^p}dx(p>0)$的敛散性
回答

• 先看第一个
• 当$p>1$时，${\int }_a^{+\infty }\frac{\sin x}{x^p}dx$绝对收敛
• 由于$$\left|\frac{\sin x}{x^p}\right|\le \frac{1}{x^p}$$
• 所以${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx$收敛$\Rightarrow$$${\int }_a^{+\infty }\left|\frac{\sin x}{x^p}\right|dx也收敛$$
• 当$0<p\le 1$时，${\int }_a^{+\infty }\frac{\sin x}{x^p}dx$条件收敛
• 首先，证明${\int }_a^{+\infty }\frac{\sin x}{x^p}dx$收敛：
  • 由于$,\forall u\in [a,+\infty ),{\int }_a^u\sin xdx$肯定是有界的
  • 而$\frac{1}{x^p}$是单减趋0的，所以无穷积分肯定收敛
• 再看${\int }_a^{+\infty }\left|\frac{\sin x}{x^p}\right|dx$收敛否
  • $$\left|\frac{\sin x}{x^p}\right|\ge \frac{{\sin }^{2}x}{x}$$ $$=\frac{1}{x}-\frac{{\cos }^{2}x}{x}$$
  • ${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x}dx$肯定是发散的啦，所以${\int }_a^{+\infty }\left|\frac{\sin x}{x^p}\right|dx$发散
    
    ${\int }_a^{+\infty }\frac{\cos x}{x^p}dx$有着同样的结论哦！！