我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手 环，一个留给自己，一个送给她。每个手环上各有 n 个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。但是在她生日的前一天，我的室友突然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有装饰物的亮度增加一个相同的自然数 c（即非负整数）。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，但是由于上面 装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差异值最小。在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 1,2,…,n，其中 n 为每个手环的装饰物个数，第 1 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 xi，第 2 个手 环的 i 号位置装饰物亮度为 yi，两个手环之间的差异值为(参见输入输出样例和样例解释)：
∑ni=1(xi−yi)2 ∑ i = 1 n ( x i − y i ) 2 麻烦你帮他计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小， 这个最小值是多少呢？
bzoj #4827 礼物（FFT）（HNOI2017）
标签：FFT
Description
Input
输入数据的第一行有两个数n, m，代表每条手环的装饰物的数量为n，每个装饰物的初始 亮度小于等于m。
接下来两行，每行各有n个数，分别代表第一条手环和第二条手环上从某个位置开始逆时 针方向上各装饰物的亮度。
1≤n≤50000, 1≤m≤100, 1≤ai≤m
Output
输出一个数，表示两个手环能产生的最小差异值。
注意在将手环改造之后，装饰物的亮度 可以大于 m。
不妨设第一个手环为S，第二个手环为T，则题意变为求 ∑(Si−Ti+k+C)2 ∑ ( S i − T i + k + C ) 2 的最小值
我们将上式展开，可以得到
∑(S2i+T2i+k+C2+2∗C(Si−Ti+k)−2∗SiTi+k) ∑ ( S i 2 + T i + k 2 + C 2 + 2 ∗ C ( S i − T i + k ) − 2 ∗ S i T i + k )
进一步得到
∑S2i+∑T2i+n∗C2+2∗c∗∑(Si−Ti)−2∗∑SiTi+k ∑ S i 2 + ∑ T i 2 + n ∗ C 2 + 2 ∗ c ∗ ∑ ( S i − T i ) − 2 ∗ ∑ S i T i + k
先抛开 C C 不看，我们发现只有 ∑SiTi+k ∑ S i T i + k 不是常数
如何求 ∑SiTi+k ∑ S i T i + k 最大值呢？标准套路：将T数组反转，求出S与T的卷积，不难发现， ∑SiTi+k ∑ S i T i + k 对应每一个k的取值，都是卷积中两个相差n次的项的系数之和，这里可以用FFT，将复杂度降到O(nlogn)。
求完 ∑SiTi+k ∑ S i T i + k 最大值后，我们发现只有关于C的二次项与一次项，直接用二次函数求最值的方法即可，注意C只能为整数。
/**************************************************************
Problem: 4827
User: P1atform
Language: C++
Result: Accepted
Time:592 ms
Memory:9108 kb
****************************************************************/
#includeif (ifor (int i=1;i1)
{
com w,wn,X,Y;
wn.x=cos(pi/i),wn.y=k*sin(pi/i);
for (int j=0;j1))
{
w.x=1,w.y=0;
for (int _=0;_if (k==-1) for (int i=0;iint main()
{
read(n),n--,read(M),memset(s,0,sizeof(s)),memset(t,0,sizeof(t));
for (int i=0;i<=n;i++) read(x),p+=x*x,q+=x,s[i].x=x;
for (int i=0;i<=n;i++) read(x),p+=x*x,q-=x,t[n-i].x=x;
for (m=2*n,n=1;n<=m;n<<=1) l++;
for (int i=1;i>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
fft(s,1),fft(t,1);
for (int i=0;i<=n;i++) s[i]=s[i]*t[i];
fft(s,-1),n=m/2,z=(ll)(s[n].x+0.5);
for (int i=1;i<=n;i++) z=max(z,(ll)(s[i-1].x+0.5)+(ll)(s[i+n].x+0.5));
for (int i=-M;i<=M;i++) ans=min(ans,p-2*z+i*((n+1)*i+2*q));
printf("%lld\n",ans);
}