算法竞赛入门经典第七章暴力求解法——子集生成

上一节我整理了一下全排列的生成算法，有两个方法，我建议使用c++中algorithm的next_permutation函数（下一个排列），那么这一节我依然按照紫书的框架顺序整理子集生成的三个算法——1.增量构造法。2。位向量法。3.二进制法。提前说一句，二进制法是真的神奇，当时理解挺长时间的，后来看懂了，惊呼一句“哇！神奇”可见算法真的是每天给我惊喜，虽然虐死我这个弱渣，但是每天看见今天的自己比昨天的自己有进步，还是觉得有收获的。
ok，废话不多说，开始整理。

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-增量构造法

思路：每次选择一个元素放到集合A中，使用递归

#include
using namespace std;
void print_subset(int n,int* A,int cur)
{
    for(int i=0;iprintf("%d ",A[i]);//打印当前集合
    printf("\n");
    int s = cur?A[cur-1]+1:0;//确定当前元素的最小可能值
    for(int i=s;i1);//递归构造子集
    }
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int A[20];
    print_subset(n,A,0);
    return 0;
}

这个方法用到了“定序”的技巧，避免同一个集合枚举两次。其实这个算法很自然，但是当时理解这个递归还是花了一点时间的，后来我分析递归，就直接一步步走，然后模拟递归过程，实在不行就画个图，比如树，这样分析起来会更加直观，虽然浪费点时间，但是理解透彻最重要。

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-2.位向量法

这个算法是构造一个B数组作为位向量

#include
using namespace std;

int B[100];
void print_subset(int n,int *B,int cur)
{
    if(cur==n){
        for(int i=0;iif(B[i]) printf("%d ",i);
        printf("\n");
        return;
    }
    B[cur]=1;
    print_subset(n,B,cur+1);//选第cur个元素 
    B[cur]=0;
    print_subset(n,B,cur+1);//不选第cur个元素 
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    print_subset(n,B,0);
    return 0;
}   

假设n=2，我们模拟一下这个递归过程。
1.首先cur=0，cur！=n，则不输出，刚开始选cur即B[0]=1；
2.然后递归cur+1(cur=1)，不输出，再选cur即B[1]=1；
3.然后递归cur+1(cur=2)，等于n，则输出，此时B[0~1]=1，那么输出0,1,这时候return;
4.返回到cur=1（即第2步）的时候，然后不选cur即B[1]=0；
5.然后递归cur+1(cur=2)，因为B[1]=0，则1不输出，只输出0,这时候return，
6.返回到cur=0（即1步）的时候，然后不选cur,B[0]=0，递归cur+1(cur=1)，再选cur，B[1]=1，那么递归后输出1,这时候return;
7.返回到cur=1时，然后不选cur，即B[0~1]都为0，所以都不输出。
最终结果为{0,1}、{0}、{1}。这个过程是不是很复杂啊！

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-3.二进制法

不按照书上的讲法来整理，我按照我自己的理解方法来整理，而按照书上的讲解，我还想了好长时间，为什么二进制可以表示子集呢？？

我们首先举一个例子：
当n等于3时候即0~2的子集为{0}，{1}，{0,1}，{2}，{0,2}，{1,2}{0,1,2}。
ok，那我们看一下0~2^3-1即0~7的二进制依次表示为0,01,10,11,100,101,110,111。
好，我们对应一下（注意0这个二进制对应的是空集）
01->{0}
10->{1}
11->{0,1}
100->{2}
101->{0,2}
110->{1,2}
111->{0,1,2}
观察一下，不难看出其中的玄妙，所以说我为什么感叹算法的神奇了吧。也就是为什么2^n就是n的子集数了，因为刚好每一个二进制数就可以表示一个子集嘛~interesting！！
实现代码如下

#include
using namespace std;
void print_subset(int n,int s)
{
    for(int i=0;iif(s&(1<printf("%d ",i);//二进制的位运算  
    }
    printf("\n");
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<(1<return 0;
 } 

不难看出这个方法使得枚举子集和枚举整数一样十分的简单。good！
注意位运算是如何运算的。以后会专门开一个专栏把这些细节部分记录整理下来的，因为这些运算符使得一个算法能够变得那么神奇，所以也很重要。