由浅及深了解区块链之:(9)浅谈椭圆曲线加密算法及其原理

在比特币交易系统中,产生的每一笔交易都需要交易者的数字签名以验证其身份,数字签名要用到相应的公钥和私钥,上一节讲解了如何产生私钥以及如何由公钥得到相应的比特地址,这一节来讲解下如何由私钥得到公钥。
一般来说由私钥得到公钥可以经过两种算法,RSA算法和椭圆曲线法ECC。
关于RSA算法在之前的小节中有介绍,比较两种算法可以得到如下信息:
1:ECC在私钥的处理上要比RSA要快的多。
2:ECC的安全系数更高,160位的ECC和2048位的RSA安全系数一致
因而在私钥推导公钥中用到的是ECC算法。
ECC算法首先用到的是椭圆曲线的形式:y2mod T=(x3+ax+b)mod T.(a,b是方程系数,T是椭圆曲线的有限域)
取椭圆曲线上的一点G(x0,y0),则公钥K=kG (公钥用(x,y)的坐标形式表示)。
如何理解这个公式呢 ,k是私钥,可以用一串256位二进制数表示(1101010100……)
在K=kG中·可以表示为:
K=(d0+2w*d1+22w*d2+23Wd3+……)G ,其中{d0,d1,d2……}的元素取值为0或1. (d0,d1,d2,d3,d4,d5……)对应着私钥对应的二进制数(110001101010010),然后未知数w代表其相应的宽度,一般来说过w可以取1.
这是椭圆曲线的相应的四个定理
1:K=-P
xk=xp
yk=(-yp)mod T (T表示椭圆曲线的有限域)
2:K=P+Q(当椭圆上P点坐标不等于椭圆上的Q点坐标的时候)
P(xp,yp),Q(xq,yq),
入=(yp-yq)/(xp-xq)
设K坐标(xk,yk
则xk=(入2-xp-xq)mod T
yk=(入(xp-xk)-yp)mod T
3:K=P+P
入=(3xp2+a)/(2yp)
则xk=(入2-2
xp)mod T
yk=(入(xp-xk)-yp)mod T
4:K=G+G+G+……=2G+G+……=G+2G+……
这里还有一个最大阶数的概念,定义:如果存在一个最小正整数n,使得K=nG不存在,则这个n就是这个椭圆曲线的阶数,反之就说明这个椭圆的阶不存在。如果存在n,则要满足k 下面我将给出一个具体实例:
已知条件,私钥k,椭圆曲线E(4,11),有限域为17,最大阶数为6,以及曲线上的随机一点G(3,4).求K=3G.
根据已知条件可以衍生出来以下信息
1:椭圆曲线方程 y2%17=(x3+4x+11)%17.
常规法:

求解过程如下:
先计算K1=2G的值:
G(3,4)
入=(3*3^2+4)/(2*4)mod17=31/8 mod 17
(1/8)*=>8*x mod 17=1 =>x=15
入=31*15 mod 17=6
x~2p~=(6^2 -3-3)mod 17=13
y~2p~=[6*(3-13)-4]mod 17=4
K1=2G=(13,4)
再计算K=K1+G的值
入=(4-4)/(13-3)=0
x~3p~=(0^2-3-13)mod 17=1
y~3p~=(0-4)mod 17=13
K=3G=(1,13)

所以按照这种规则就可以求出相应的公钥(1,13)
还有一种几何法,可以更加直观的求解这个公钥,感兴趣的同学可以查找资料,笔者就不介绍了。
椭圆曲线的加密解密
已知条件:椭圆曲线E(4,20),基点G(13,23)公钥K(14,6),明文3,椭圆曲线域为29.
首先对明文数字3进行加密:
首先我们对明文来通过某种编码转换为椭圆曲线上的某个点M(3,y)并产生一个随机数r(r 计算C1=M+rK=(6,12)
计算C2=rG=(5,7)
接下来是相应的解密过程·
已知条件:C1,C2,私钥k
M=C1-kC2=(3,28)

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