由浅及深了解区块链之：（9）浅谈椭圆曲线加密算法及其原理

在比特币交易系统中，产生的每一笔交易都需要交易者的数字签名以验证其身份，数字签名要用到相应的公钥和私钥，上一节讲解了如何产生私钥以及如何由公钥得到相应的比特地址，这一节来讲解下如何由私钥得到公钥。
一般来说由私钥得到公钥可以经过两种算法，RSA算法和椭圆曲线法ECC。
关于RSA算法在之前的小节中有介绍，比较两种算法可以得到如下信息：
1：ECC在私钥的处理上要比RSA要快的多。
2：ECC的安全系数更高，160位的ECC和2048位的RSA安全系数一致
因而在私钥推导公钥中用到的是ECC算法。
ECC算法首先用到的是椭圆曲线的形式：y²mod T=(x³+ax+b)mod T.(a,b是方程系数，T是椭圆曲线的有限域)
取椭圆曲线上的一点G（x₀,y₀）,则公钥K=kG （公钥用（x，y）的坐标形式表示）。
如何理解这个公式呢 ，k是私钥，可以用一串256位二进制数表示（1101010100……）
在K=kG中·可以表示为:
K=(d0+2^w*d1+2^2w*d2+2^3Wd3+……)G ，其中{d0,d1,d2……}的元素取值为0或1. （d0,d1,d2,d3,d4,d5……）对应着私钥对应的二进制数（110001101010010），然后未知数w代表其相应的宽度，一般来说过w可以取1.
这是椭圆曲线的相应的四个定理
1：K=-P
x_k=x_p
y_k=(-y_p)mod T (T表示椭圆曲线的有限域)
2:K=P+Q(当椭圆上P点坐标不等于椭圆上的Q点坐标的时候)
P(x_p,y_p),Q(x_q,y_q),
入=（y_p-y_q）/(x_p-x_q)
设K坐标（x_k,y_k）
则x_k=(入²-x_p-x_q)mod T
y_k=(入(x_p-x_k)-y_p)mod T
3:K=P+P
入=（3x_p²+a）/(2y_p)
则x_k=(入²-2x_p)mod T
y_k=(入(x_p-x_k)-y_p)mod T
4:K=G+G+G+……=2G+G+……=G+2G+……
这里还有一个最大阶数的概念，定义：如果存在一个最小正整数n，使得K=nG不存在，则这个n就是这个椭圆曲线的阶数，反之就说明这个椭圆的阶不存在。如果存在n，则要满足k 下面我将给出一个具体实例：
已知条件，私钥k，椭圆曲线E(4，11）,有限域为17，最大阶数为6，以及曲线上的随机一点G（3，4）.求K=3G.
根据已知条件可以衍生出来以下信息
1：椭圆曲线方程 y²%17=（x³+4x+11）%17.
常规法：

求解过程如下：
先计算K1=2G的值：
G(3,4)
入=(3*3^2+4)/(2*4)mod17=31/8 mod 17
(1/8)*=>8*x mod 17=1 =>x=15
入=31*15 mod 17=6
x~2p~=(6^2 -3-3)mod 17=13
y~2p~=[6*(3-13)-4]mod 17=4
K1=2G=(13,4)
再计算K=K1+G的值
入=（4-4）/（13-3）=0
x~3p~=(0^2-3-13)mod 17=1
y~3p~=(0-4)mod 17=13
K=3G=(1,13)

所以按照这种规则就可以求出相应的公钥(1,13)
还有一种几何法，可以更加直观的求解这个公钥，感兴趣的同学可以查找资料，笔者就不介绍了。
椭圆曲线的加密解密
已知条件：椭圆曲线E(4，20),基点G（13，23）公钥K（14，6），明文3，椭圆曲线域为29.
首先对明文数字3进行加密：
首先我们对明文来通过某种编码转换为椭圆曲线上的某个点M（3，y）并产生一个随机数r（r 计算C1=M+rK=(6,12)
计算C2=rG=(5,7)
接下来是相应的解密过程·
已知条件：C1，C2，私钥k
M=C1-kC2=（3，28）