MIT：算法导论——5.线性时间排序：计数排序、基数排序以及桶排序

注：教材《算法导论》第8章 线性时间排序

一、决策树模型分析 排序算法下界 O(nlgn)
定理：在坏情况下，任何比较排序算法都需要做Ω(nlgn)次比较。
证明：对于一棵每个排列都是可达叶节点（l个）的决策树来说，树的高度（h）完全可以被确定。
因为输入数据的n!种可能的排列都是叶节点，所以有n! <= l <=2^h。
因为lg函数单调，所以h >= lg(n!) = Ω(nlgn)。


二、计数排序（使用计数器 数组）O(n+k)
// A[1...n],A.length = n，输入数组; 
// B[1...n],存放排序的输出为计数器;
// 每个数都是在[0...k]区间内的整数。
COUNTING-SORT( A, B, k )
let C[0...k] be a new array// C提供临时存储空间，为计数器，对A每个数进行统计
for i = 0 to k// 初始化O(k)
C[i] = 0;
for i = i to n// 统计O(n)
C[A[i]] += 1;
for i = 1 to k// 累加O(k)
C[i] += C[i-1];// 这样A[i]与其目标位置c[A[i]]形成映射
for i = n to 1// 从高到底，保证stable sort
B[C[A[i]]] = A[i];//O(n)
C[A[i]] -= 1;
时间复杂度O(n+k)，当k=O(n)时，排序的运行时间为O(n)。


三、基数排序O(d(n+k))
// 假设n个d位的元素存放在数组A中，其中第1位是最低位，第d位是最高位。
RADIX-SORT( A, d )
for i = 1 to d// ① 从低权重开始排序，② 采用稳定排序算法。
use a stable sort to sort array A on digit i
（1）基数排序的时间复杂度O(d(n+k)) -->O(n)。
（2）基数排序所需的辅助存储空间为O(n+rd)。
（3）基数排序是稳定的。
证明：数学归纳法。
t-1位有序，==>第t位仍有序：
① 第t-1位与第t位相等：stablity。
② 第t-1位与第t位不等：sorted。

四、算法比较
（1）直接插入排序
时间复杂度，平均：O(n^2), 最坏：O(n^2)。
算法所需的辅助空间是一个监视哨，辅助空间复杂度S(n)=O(1)。是一个就地排序。
直接插入排序是稳定的排序方法。
（2）冒泡排序
时间复杂度，平均：O(n^2)。
冒泡排序是就地排序，且它是稳定的。
（3）直接选择排序
时间复杂度，平均：O(n^2), 最坏：O(n^2)。
直接选择排序是一个就地排序，直接选择排序是不稳定的。
【反例】[2，2，1]，每次选最小值放到数组头，因此首个的2与最小值1交换，导致不稳定。
（4）快速排序
时间复杂度，平均：O(nlgn), 最坏：O(n^2)。
快速排序在系统内部需要一个栈来实现递归。
若每次划分较为均匀，则其递归树的高度为O(lgn)，故递归后需栈空间为O(lgn)。
最坏情况下，递归树的高度为O(n)，所需的栈空间为O(n)。
快速排序是非稳定的。
（5）堆排序
时间复杂度，平均：O(nlgn), 最坏：O(nlgn)。
由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录数较少的文件。
堆排序是就地排序，辅助空间为O(1)。
它是不稳定的排序方法。
（6）归并排序
时间复杂度，平均：O(nlgn), 最坏：O(nlgn)。
需要一个辅助向量来暂存两有序子文件归并的结果，
故其辅助空间复杂度为O(n)，显然它不是就地排序。
若用单链表做存储结构，很容易给出就地的归并排序。
【推论】堆排序和归并排序是渐近最优的比较排序算法。因为其时间上界为O(nlgn)。


=========排序分类==================
插入排序
直接插入排序
希尔排序
交换排序
冒泡排序
快速排序
选择排序
直接选择排序
堆排序
归并排序
归并排序
分配排序
箱排序O(n)
基数排序O(d(n+k))

计数排序源码——

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