四元数与旋转矩阵——SLAM

1. 用四元数表示旋转时,都是单位四元数。

2. 用四元数表示旋转时,三维空间的点p(x,y,z)需要表示成虚四元数,即p=0<x,y,z>

3. 四元数导数与角速度之间的关系

     q:表示local坐标系到global坐标系的旋转;

     \omega _L:表示物体在局部坐标系下的角速度;

     \omega _G:表示物体在全局坐标系的角速度;

     \omega _G= q w_L q^{-1}

    \dot{p}=\frac{1}{2}q\begin{bmatrix} 0\\\omega_L \end{bmatrix} =\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 0\\\omega_G \end{bmatrix}q

4.

因为

\Delta \theta\rightarrow 0时,一阶泰勒展开,取第一项,则cos\frac{\theta}{2} \rightarrow 1,sin \frac{\theta}{2}\rightarrow \frac{\theta}{2},所以得证。

5. 若p_L = q\otimes p_W,四元数的增量\delta\theta,求p_L\delta\theta的导数\rightarrow对四元数的导数

左乘模型:\frac{\partial p_L}{\partial \delta \theta}=-(R \cdot p_W) \verb|^|

右乘模型:\frac{\partial p_L}{\partial \delta \theta}=-R \cdot p_W \verb|^|

 

详细推导请阅读参考文献(1),已经参考文献中的博客。

 

参考文献

(1)Yan-Bin Jia. Quaternion

(2)http://lxlsosi.net/blog/graphics/Lie-Group-Quaterion.html

(3)https://blog.csdn.net/u013236946/article/details/72831380

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