数论 之 中国剩余定理（孙子定理）

1.中国剩余定理理解：

    剩余定理，顾名思义就是和余数有关的操作，比如中国剩余定理解决的经典问题：

   在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3 余2），五五数之剩三（除以5 余3），七七数之剩二（除以7 余2），问物几何？”

  类似求解这样的问题，便属于中国剩余定理的范畴。但是这样的问题如何来解决呢？在解决本问题之前，我们先来学习两个相关的定理：

定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。

定理2：两数不能整除，若被除数扩大（或缩小）了几倍，而除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数。

2.求解过程， 步骤如下：

   2.1、求出最小公倍数

        lcm=3*5*7=105

   2.2、求各个数所对应的基础数

       （1）105/3=35

               35/3=11......2

     //35就是基础数（基础数就是满足题目要求的数，本题目中的第一个要求就是除以3余2，而我们找到的35就是这样的数）

      （2）105/5=21

               21/5=4......1

      //此时我们用定理2把1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21*3=63

    //基础数63（因为题目要求余数是3啊）

      （3）105/7=15

              15/7=2......1//同理，我们可以得到基础数是30

    2.3 把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数）

          35+63+30=128

    2.4、减去最小公倍数lcm（在比最小公倍数大的情况下）

          x=128-105=23

那么满足题意得最小的数就是23了。一共有四个步骤。

3.模板代码：

#include
#include 
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    int d;
    if(b==0)
    {
        x=1;
		y=0;
        return a;
    }
    d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y=y-a/b*x;
    return d;
}
 //中国剩余定理 ,r[]存放余数 ,prime[]存放两两互质的数
int Chinese_Remainder(int r[],int prime[],int len)
{
    int i,d,x,y,m,lcm=1,sum=0;
    for(i=0;i

或者：

  

#include
#define ll long long
//扩展欧几里得算法 
void gcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0)
	{
        d=a;
        x=1;
		y=0;
    }
    else
	{
        gcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=(a/b)*x;
    }
}
//中国剩余定理 
ll China(int n,ll *m,ll *a)
{
    ll M=1,d,x,y,ans=0;
    for(int i=0;i

4.参考：

中国剩余定理讲解

中国剩余定理讲解已经步骤总结

讲解

代码模板参考