广义矩估计

矩估计就是用样本矩代替总体矩进行统计推断的方法。

举例：正态参数估计问题， ，估计μ和σ。

，
而根据大数定理，在一定的条件下：

当样本量足够大的时候，样本矩与总体矩只差了一个无穷小量，用样本矩代替总体矩得到参数的估计，我们把op(1)去掉，同时把未知的总体参数写成其估计值，也就是带hat的形式，得到了：

如此，我们得到了两个总体矩的点估计。在这个简单的例子里面，你只要把上面的大数定理的结论带到上面两个式子里面，很容易的就可以证明出两个点估计是一致的估计量。

当然，值得注意的是，即便我使用的是矩条件，σ的估计也不是无偏的。一般而言，除了特殊情况，不管是MLE还是MM还是GMM，都不一定可以得到无偏的估计量。特别是在比较复杂的应用里面，一致就很不错了，无偏性的讨论真的繁琐。

在上面的例子中，我们只使用了两个矩条件。然而我们知道，正态分布的矩是有无穷多个可以用的，那么我们是不是可以使用更多的矩条件呢？

但是有个问题不好解决。在这个例子里面，我们有两个未知参数，如果只使用一阶矩，那么只有一个方程解两个未知数，显然是不可能的。像上面一样，我们用两个矩条件解两个未知数，就解出来了。然而，当我们用一到三阶矩，总共三个方程求解的时候，三个方程求解两个未知数，可能无解。

方程数多了，反而没有解了，为什么呢？其实很简单，用三个方程中的任意两个方程，都可以求出一组解，那么三个方程我们就可以求出三组解。所以应该如何把这些矩条件都用上呢？

到这里我们不妨引入一些记号。还是使用上面的例子，我们把上面的三个矩条件写到一个向量里面去，记：
（其实这里三阶矩有问题）
我们可以得到一个3*1的列向量，并且：

上面就是我们要用的矩条件。而根据上面的思路，用其样本矩代替总体矩：

解这个方程应该就可以得到参数θ的估计。但是正如上面所说的，三个方程两个未知数，并不能确保这个方程有解，所以必须想一些其他办法。

一个比较自然的想法是，上面的矩条件等于0，虽然我不太可能保证三个方程同时等于0，但是仿照OLS，我们可以让他们的平方和最小，也就是：

这样我们就能保证三个矩条件的样本矩都足够贴近于0，当然不可能同时为0。这样不就综合使用了三个矩条件的信息么？

更一般的，由于上面的g函数是一个3*1的列向量，我们可以使用一个权重矩阵W来赋予每个矩条件以不同的权重：

只要这个W是一个正定矩阵，那么仍然可以保证每个样本矩都足够贴近于0。

那么问题来了，既然对W的要求只要求正定矩阵，那么使用不同的权重矩阵就有可能得到不同的结果。问题是，有没有一个最优的权重矩阵呢？当然是有的。可以证明，最优的权重矩阵应该是：

使用这个权重矩阵，就得到了最有效的估计。

比如上面的例子，用gretl分别估计两个矩条件、三个矩条件使用单位阵作为W、三个矩条件使用最优权重矩阵做估计：

nulldata 1000
set seed 1988
series x=randgen(N,1,2)
series x2=x^2
series x3=x^3
series e
series e2
series e3
scalar mu=0
scalar sigma2=1
matrix W2=I(2)
gmm
    series e=x-mu
    series e2=x2-sigma2-mu^2
    orthog e; const
    orthog e2; const
    weights W2
    params mu sigma2
end gmm
matrix W3=I(3)
scalar mu=0
scalar sigma2=1
gmm
    series e=x-mu
    series e2=x2-sigma2-mu^2
    series e3=x3-3*mu*sigma2-mu^3
    orthog e; const
    orthog e2; const
    orthog e3; const
    weights W3
    params mu sigma2
end gmm
scalar mu=0
scalar sigma2=1
gmm
    series e=x-mu
    series e2=x2-sigma2-mu^2
    series e3=x3-3*mu*sigma2-mu^3
    orthog e; const
    orthog e2; const
    orthog e3; const
    weights W3
    params mu sigma2
end gmm --iterate

首先是使用两个矩条件的结果：

<img src="https://pic3.zhimg.com/50/3bdf0748c172560b313c2c3da71bb4c7_hd.jpg" data-rawwidth="477" data-rawheight="148" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="477" data-original="https://pic3.zhimg.com/3bdf0748c172560b313c2c3da71bb4c7_r.jpg">

两个未知参数，两个矩条件，不存在过度识别的问题，存在唯一解的，所以不管是否使用最优权重矩阵，得到的结果都是一样的。

三个矩条件，这个时候使用什么样的权重矩阵就不一样了。先使用单位阵作为权重矩阵：

<img src="https://pic3.zhimg.com/50/63959e97aa2d91e43672c8521a6385b5_hd.jpg" data-rawwidth="465" data-rawheight="148" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="465" data-original="https://pic3.zhimg.com/63959e97aa2d91e43672c8521a6385b5_r.jpg">

这里需要注意的是，即使使用了更多的矩条件，估计量的standard error还是变大了。感兴趣的可以做一个蒙特卡洛模拟试试，一定是会变大的。为什么呢？因为没有使用最优的权重矩阵，所以使用单位阵作为权重矩阵得到的结果不是最有效的。那么如果使用最优的权重矩阵呢？结果：

<img src="https://pic4.zhimg.com/50/06743b94dc8f22efb8582ecacec19684_hd.jpg" data-rawwidth="474" data-rawheight="163" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="474" data-original="https://pic4.zhimg.com/06743b94dc8f22efb8582ecacec19684_r.jpg">

嘿！standard error是变小了，但是跟使用两个矩条件的好像没有什么本质变化

因为这里举的这个例子太特殊了，我们使用的前两个矩条件，刚好是一个充分统计量，也就是说，使用额外的矩条件不会带来附加信息的。但是如果是其他情况，一般来说更多的矩条件是可以带来更多的信息的，比如工具变量的回归。

另外如果细心观察，最后一张表格多了一个J-test。这又是啥呢？

这个东西就比较有意思了。知道现在，我们都是假设使用的矩条件成立，那么这些矩条件真的是成立的么？未必啊。比如，如果x本来就不服从正态分布，那么使用上面的估计显然是错的。那么是不是可以检验矩条件是否成立呢？

一般来说，如果你有K个未知的参数，以及K个矩条件，那么矩条件是不能检验的。但是如果你有更多的矩条件，那么就有了检验的可能。这个检验的直觉很简单，比如上面的例子里面，我们有3个矩条件。我可不可以先使用前两个矩条件估计这两个参数，然后把这两个参数带入到第三个矩条件里面，看看是不是充分接近于0，如果充分接近，那么看来这三个矩条件彼此印证了。

实际使用的时候没有那么麻烦。可以证明，当使用了最优的权重矩阵的时候，GMM的目标函数渐进服从卡方分布，因而只要检验这个卡方分布就可以了，也就是上面的J-test。p-value为0.6884，看来这三个矩条件没有矛盾的地方。

但是一定要注意，即使通过了这个检验，也不代表矩条件一定是成立的，因为有可能三个矩条件都是错的，只不过错的方向是一致的。比如这个例子里面，有可能x的分布前三阶矩跟正态分布是一样的，但第四阶就不一样了。因而通过这个检验不代表x一定服从正态分布。当然，如果通不过，可以比较自信的说，x不服从正态分布。

比如，我们把上面的数据生成过程改为gamma分布，得到的结果：

<img src="https://pic4.zhimg.com/50/0d4b24d1b6e01a241c7c581aaf93455c_hd.jpg" data-rawwidth="471" data-rawheight="157" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="471" data-original="https://pic4.zhimg.com/0d4b24d1b6e01a241c7c581aaf93455c_r.jpg">

p-value为0.0000，拒绝了原假设，也就是说，三个矩条件不同时成立，数据很有可能不是从正态分布中生成的。

我们现在线性模型的框架下讨论，这样比较清晰。
假设y是因变量，x是原自变量，z是工具自变量（可以和原自变量一致，也可以不一致）
我们定义
所谓矩条件，就是我们假设模型的真实参数和总体，满足这样一个条件：

也就是
然后在这个条件下，我们用某种方法去估计参数
看上去是不是很混乱？OK让我们做一个小小的变换~~~
假设向量xi=zi，也就是说工具变量和自变量完全一样。这时候矩条件就变成了：

回想起来这是啥了没？就是简单的线性投影条件呀！它的sample analogue是啥？就是OLS！
好，OLS首先被装到了GMM这个框里。
但是当zi不完全和xi一样的时候呢？那我们就得分类讨论了。

1.如果zi里的变量数量小于xi，那就是under-identified（识别不足），这个时候我们没办法用GMM估计。（想想简单IV里最基本的估计条件就是IV数量比内生变量数量多）

2.如果zi里的变量数量等于xi里的，那就是just-identified（恰好识别），这个时候我们的sample analogue和用样本估计参数的方法都很直接而且简单，就是用简单算术平均。
定义
估计方法就是直接让，解出对应的 就好了，没啥花样儿。
所以我们很清楚可以看到，恰好识别的时候，GMM Estimator就是：

是不是很熟悉？YES！就是简单的IV Estimator~
当zi=xi时，就直接变成OLS Estimator了。

3.如果zi里的变量数量大于xi里的，那就是over-identified（过度识别），这就到了GMM不一样的地方了。这时候我们不能直接简单用的条件去求解了，因为这时候我们的矩条件比未知数要多，也就是说方程组里的方程数量比未知数多，一般情况下找不到解。咋办？那我们就找一个解得出来的方程组，并且要让尽量“靠近”零。因为其实是空间里的一个点，所以我们这里用一个小技巧，把这种靠近，定义为最小化这个点，和原点的空间距离。
我们定义
这个J就是我们要的距离。W是一个对称且正定的矩阵，表示我们对这个空间距离的某种度量。当W=I的时候，我们定义的这个距离就是简单的欧式空间距离。
前面乘以一个n没啥别的意思，是为了某些统计量比较好算......
所以我们估计参数的方法就是：

取一个让距离最小的，就得到了我们要的GMM估计量。简单求个导，解一下一阶条件我们就有了显性表达式：

其中，
这就是单方程GMM的一般解。
当我们选取不同的W矩阵，也就是选择不同的空间距离度量时，GMM会变成各种我们熟悉的estimator，比如2SLS等等。
以上是关于线性模型的。

更一般的GMM，其实差别不是很大，无非是去掉了矩条件是线性的这个假设。这时候我们有：

x是自变量， 是真实参数
同样我们也是最小化一个空间距离：


只不过在具体求解的时候，如果g是一个很复杂的非线性函数的话，那就不一定有解析解，需要用数值逼近，然后渐进方差要用delta method计算。

再比如工具变量的2SLS，可以发现矩条件不过就是：

套一下上面的公式，最优权重矩阵(的逆)为：

带入到目标函数中，就得到了2SLS。

甚至，一些其他的估计量，比如MLE、M-estimator等，在一定的条件下也可以转化为GMM，因为这些估计量的一阶条件可以看成是矩条件。所以GMM也就变成了一个统一的框架。

为什么GMM这么受欢迎呢？因为GMM把复杂的统计过程抽象化成为一个（看似）简单的过程：找矩条件。只要你能找到矩条件，你就能估计。GMM把估计的繁琐细节全都抽象了，面对一个模型，你所需要做的所有事情就是找到矩条件，证明这个模型是可以识别的，然后什么也不用管，一股脑儿塞进去，结果就出来了。

所以呢如果你去看一些稍微复杂的模型，基本都可以归结为矩条件。

至于题主提到的资产定价，刚好Gretl提供了一个可以使用的数据集和code。资产定价最简单的模型应该就是C-CAPM了，其重要结论就可以直接归结为这么一个矩条件：

<img src="https://pic3.zhimg.com/50/abe33d569eb12ea1e069e51ca893e1ff_hd.jpg" data-rawwidth="256" data-rawheight="60" class="content_image" width="256">

其中Ft为第t期所知道的所有信息，包括Ct、rt等等。所以根据这个式子，如果令

<img src="https://pic3.zhimg.com/50/d1787777dde54ca25e0d70224cd365b3_hd.jpg" data-rawwidth="223" data-rawheight="57" class="content_image" width="223">

那么e_t跟Ct、rt等等都是正交的，自然可以作为矩条件来用。

本模拟最优权重阵的结果就是这样：

<img src="https://pic1.zhimg.com/50/97024c1dfdbf64d0a9e462adf934337d_hd.jpg" data-rawwidth="226" data-rawheight="40" class="content_image" width="226"> 那么问题来了，要估计最优权重阵就要估计参数，要估计参数就要知道最优权重阵（循环一二起，要估计最优权重阵就要估计参数，要估计参数就要知道最优权重阵…）。

第一种叫one-step GMM，玩不出来我就不玩了呗，没有胡屠夫还不吃带毛猪了，我找不到最优权重阵，我找个过的去权重阵差不多意思意思，反正满足内生性条件之后，大样本性质总归是好的，至于小样本性质，那再说吧。

一般Wn =In（单位阵）或者 =inv(Z’Z)（工具变量阵乘积的逆）

第二种叫做two-step GMM，现在不是有了参数的一个估计了嘛，那往前再走一步咯，我根据参数得到最优权重阵的一个估计，

<img src="https://pic1.zhimg.com/50/97024c1dfdbf64d0a9e462adf934337d_hd.jpg" data-rawwidth="226" data-rawheight="40" class="content_image" width="226"> 然后再来一次GMM估计嘛。

第一二种方法有一个小小的缺陷，就是初始权重阵的选取，会影响到参数的数值（numerical value）。

第三种叫做Iterated Efficient（迭代有效）GMM，怎么讲，2步迭代不够那3步迭代，3步不够迭代4步，总有一步，会得到最优的估计的。那怎么判定是不是差不多最优了呢，一般用这次迭代得到的新参数和上次的参数做差，差充分小的时候，就表示逼近已经很成功了。

第四种方法理解起来复杂，叫做Continuous-updating （连续更新）GMM。GMM估计是在最小化方程

<img src="https://pic1.zhimg.com/50/62a1e4fa19ade8f313296496d74d3e34_hd.jpg" data-rawwidth="287" data-rawheight="53" class="content_image" width="287">

然后最优权重阵W=

<img src="https://pic1.zhimg.com/50/97024c1dfdbf64d0a9e462adf934337d_hd.jpg" data-rawwidth="226" data-rawheight="40" class="content_image" width="226">

我们直接代进去嘛，这样这个估计方程里面不就没有W只有参数了，然后估计参数就好了。

第三第四种方法的解，不依赖初始权重阵。理论上说，第三第四种方法的估计应该是渐进等价的，当然小样本性质可能有所差异。

但要注意，如果矩条件不是线性的，那么啥好说的大家都是非线性参数估计；如果矩条件是个线性的，前三种就是线性估计第四种方法还是非线性估计，相比来说，计算更加繁重，但其有限样本性质要稍好些，另外如果存在弱工具变量的问题，其也相对稳健（robust）。

Gretl自带了Hall的数据集，在user guide第206页开始给出了说明和代码，以及结果，感兴趣的可以去看看，很简单的一个程序。

摘自知乎：https://www.zhihu.com/question/41312883