扩展中国剩余定理

扩展中国剩余定理

算法作用

对于给定的一个同余方程组：
$$x\equiv c[i](\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m[i])$$

初始技巧

1、如何使用扩展欧几里得算法求逆元
2、简单数论

解决方法

第一眼：中国剩余定理！
但是，中国剩余定理需要保证m[i]互质，所以这种方法在这里就逊色了
我们可以采用扩展中国剩余定理(excrt)

我们先从最简单的两个式子入手：
$$x\equiv c1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m1)$$
$$x\equiv c2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m2)$$
变形：
$$x=k1\ast m1+c1$$
$$x=k2\ast m2+c2$$
联系在一起：
$$k1\ast m1+c1=k2\ast m2+c2$$
$$k1\ast m1=(c2-c1)+k2\ast m2$$
左右分别除去$$p=\gcd (m1,m2)$$
原式变为：
$$\frac{k1\ast m1}{p}=\frac{c2-c1}{p}+\frac{k2\ast m2}{p}$$
$$\frac{k1\ast m1}{p}\equiv \frac{c2-c1}{p}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{m2}{p})$$
$$k1\equiv \frac{c2-c1}{p}\ast (\frac{m1}{p}{)}^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{m2}{p})$$
$$k1=\frac{c2-c1}{p}\ast (\frac{m1}{p}{)}^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{m2}{p})+k3\ast \frac{m2}{p}$$
我们可以将k1带回原来的x中，得到：
$$x=(\frac{c2-c1}{p}\ast (\frac{m1}{p}{)}^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{m2}{p})+k3\ast \frac{m2}{p})\ast m1+c1$$
$$x=\frac{c2-c1}{p}\ast (\frac{m1}{p}{)}^{-1}\ast m1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{m2}{p})+k3\ast \frac{m2}{p}\ast m1+c1$$
$$x\equiv \frac{c2-c1}{p}\ast (\frac{m1}{p}{)}^{-1}\ast m1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{m2}{p})+c1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(\frac{m2}{p}\ast m1))$$
由于m1，m2，c2，c1都是已知的。
所以这个式子是可求的。
我们再令
$$m=\frac{m2}{p}\ast m1$$
$$c=\frac{c2-c1}{p}\ast (\frac{m1}{p}{)}^{-1}\ast m1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{m2}{p})+c1$$
于是乎，我们就有了新的同余式：
$$x\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$
再将新求出来的c与m带入原来的c1与m1中，再逐个合并就好了。
全部的c[i]与m[i]合并成一个同余式后，明显，答案就是c mod m了。

代码

#include
#define N 1001
using namespace std;
long long m[N],c[N];
int n;
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
	if (b==0)
	{
		x=1;y=0;return a;
	}
	long long p=exgcd(b,a%b,x,y);
	long long t=x;x=y;
	y=t-(a/b)*y;return p;
}
long long niyuan(long long x,long long y)
{
	long long xx=0,yy=0;
	long long p=exgcd(x,y,xx,yy);
	while (xx<0) xx+=y;
	return xx;
}
int excrt()
{
	long long m1=m[1],c1=c[1];
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		long long m2=m[i],c2=c[i];
		long long unless1,unless2;
		long long gcdm=exgcd(m1,m2,unless1,unless2);
		if ((c2-c1)%gcdm!=0) return -1;
		long long newm=m1*m2/gcdm;
		long long newc=niyuan(m1/gcdm,m2/gcdm)*((c2-c1)/gcdm)%(m2/gcdm)*m1+c1;
		m1=newm;c1=newc;
		while (c1<0) c1=(c1+m1)%m1;
	}
	return c1%m1;
}
int main()
{
	freopen("excrt.in","r",stdin);
	freopen("excrt.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld%lld\n",&m[i],&c[i]);
	long long ans=excrt();
	printf("%lld\n",ans);
}