层次分析法

1 建立层次结构模型

目标 方案 准则 层

2 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造判断矩阵

两两比较:

判断矩阵：

在同一因素下，填写不同方案的判断矩阵。有可能出现矛盾之处
这时需要一致性检验,检验构造的判断矩阵与一致矩阵是否差距太大

3 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，（检验通过才能够计算权重）

一致性检验

计算一致性指标CI

n阶正互反矩阵A为一致矩阵时，最大特征值 λ m a x = n
当正互反矩阵A为非一致矩阵时，一定满足 λ m a x > n
判断矩阵与一致矩阵差距越大，最大特征值 λ m a x​与n的差距就越大
CR<0.1时，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵A，对aij加以调整

几种方法求权重 ：

a 算数平均法

将判断矩阵按列归一化（每列元素除以其所在列的和）
将归一化的各列相加
将相加后得到的向量中每个元素除以n 即可得到权重向量

b 几何平均法

c 特征值求权重

4 根据权重矩阵计算得分，并进行排序

w为权重，f为得分

代码

%% 注意：在论文写作中，应该先对判断矩阵进行一致性检验，然后再计算权重，因为只有判断矩阵通过了一致性检验，其权重才是有意义的。

%% 在下面的代码中，我们先计算了权重，然后再进行了一致性检验，这是为了顺应计算过程，事实上在逻辑上是说不过去的。

%% 因此大家自己写论文中如果用到了层次分析法，一定要先对判断矩阵进行一致性检验。

%% 而且要说明的是，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。

%% 如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵，那么就没有必要进行一致性检验。

%% 输入判断矩阵

clear;clc

disp('请输入判断矩阵A： ')

% A = input('判断矩阵A=')

A =[1 1 4 1/3 3;

 1 1 4 1/3 3;

 1/4 1/4 1 1/3 1/2;

 3 3 3 1 3;

 1/3 1/3 2 1/3 1]

% matlab矩阵有两种写法，可以直接写到一行:

% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]

% 也可以写成多行:

[1 1 4 1/3 3;

 1 1 4 1/3 3;

 1/4 1/4 1 1/3 1/2;

 3 3 3 1 3;

 1/3 1/3 2 1/3 1]

% 两行之间以分号结尾（最后一行的分号可加可不加），同行元素之间以空格（或者逗号）分开。

 

%% 方法1：算术平均法求权重

% 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）

Sum_A = sum(A)

 

[n,n] = size(A) % 也可以写成n = size(A,1)

% 因为我们的判断矩阵A是一个方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示

SUM_A = repmat(Sum_A,n,1)  %repeat matrix的缩写

% 另外一种替代的方法如下：

  SUM_A = [];

  for i = 1:n  %循环哦，这一行后面不能加冒号（和Python不同），这里表示循环n次

​    SUM_A = [SUM_A; Sum_A]

  end

clc;A

SUM_A

Stand_A = A ./ SUM_A

% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可

 

% 第二步：将归一化的各列相加(按行求和)

sum(Stand_A,2)

 

% 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量

disp('算术平均法求权重的结果为：');

disp(sum(Stand_A,2) / n)

% 首先对标准化后的矩阵按照行求和，得到一个列向量

% 然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可（注意这里也可以用./哦）

 

%% 方法2：几何平均法求权重

% 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量

clc;A

Prduct_A = prod(A,2)

% prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加 dim = 2 维度是行

 

% 第二步：将新的向量的每个分量开n次方

Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)

% 这里对每个元素进行乘方操作，因此要加.号哦。 ^符号表示乘方哦 这里是开n次方，所以我们等价求1/n次方

 

% 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量

% 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可

disp('几何平均法求权重的结果为：');

disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))

 

%% 方法3：特征值法求权重

% 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量

clc

[V,D] = eig(A)  %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）

Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~

% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。

% 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0

% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算

D == Max_eig

[r,c] = find(D == Max_eig , 1)

% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。

 

% 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

V(:,c)

disp('特征值法求权重的结果为：');

disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )

% 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，然后再进行标准化。

 

%% 计算一致性比例CR

clc

CI = (Max_eig - n) / (n-1);

RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15

CR=CI/RI(n);

disp('一致性指标CI=');disp(CI);

disp('一致性比例CR=');disp(CR);

if CR<0.10

  disp('因为CR < 0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');

else

  disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');

end