动态规划算法学习——01背包

前言

本文章主要是为了学习动态规划算法问题，这首先是进行对01背包问题进行学习。01背包问题是DP算法的基础，其他的完全背包都是从此基础上进行演进的。

对于01背包，有一个十分明显的特点：每件物品只可以操作一次，可以选择放与不放。

题目：有N件物品和一个容量为V的背包，放入第i件物品消耗的容量为Ci，可以获得的价值为Wi，求最大的价值总和。

F[i,v]代表前i件物品放入容量为v的背包可以获得的最大价值。因此可以得到转移方程为F[i, v] = max{F[i - 1, v], F[i - 1, v - Ci] + Wi}

可以得到伪代码：

F[0,0..V] <- 0
for i <- 1 to N
	for v <- Ci to V
		F[i, v] <- max{F[i - 1, v], F[i - 1,v - Ci] + Wi}

此处建议查看《背包九讲》

LeetCode416-分割等和子集

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意:

每个数组中的元素不会超过 100
数组的大小不会超过 200
示例 1:

输入: [1, 5, 11, 5]

输出: true

解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

示例 2:

输入: [1, 2, 3, 5]

输出: false

解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

思路

1. 这道题的难度在于如何初始化数组。在背包问题中，有容量V，最大价值F，和第i件物品价值Wi与耗费Ci。从题目可以得知，容量V的大小是数组之和sum除于2。而本题中，容量V与价值F是相等的，并且每件物品的价值W和耗费C是相等的。
2. 考虑边界条件：
   1. 当数组大小为0的时候，直接返回false
   2. 当sum/2为奇数的时候，直接返回false

代码实现

class Solution{
     
	public boolean canPartition(int[] nums) {
     
    // 边界条件1
  	if(nums.length == 0)
      return false;
    
    int sum = 0;	// 根据题目得知最大总和为 100*200=20000，因此使用int即可
    for(int n: nums) {
     
      sum += n;
    }
    // 边界条件2
    if((sum & 1) == 1)
      return false;
    
    int v = sum / 2;
    int dp = new int[v + 1];	// 初始化背包，开始全部为0
    for( int i = 0; i < nums.length; i++) {
     	// 遍历所有的物品
      // 从背包的最大容量开始，直到最低容量为当前物品的消耗为止
      for( int j = v; j >= nums[i]; j--) {
     	
        if(dp[j - nums[i]] + nums[i] > v)	{
     // 当容量为j时，放入当前物品是否会超出最大价值F 
          // 如果超出了，则取只放入当前物品或者之前的方案中最大的结果
          dp[j] = Math.max(dp[j], nums[i]);	
        } else {
     
          // 如果没有超出，则取当前组合或者之前方案中最大的结果
          dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
        }
      }
    }
    // 判断最后的结果是否出现价值为最大价值F的结果
    return dp[v] == v;
	}
}

示例

以[1,5,11,5]为例子，其中子集之和为sum/2=11,所以DP背包大小为11，而且最大值不能超过11。建立图标如下所示：

最后一个数
5	1	1	1	1	5	6	6	6	6	10	11	只需要判断这个数即可
11	1	1	1	1	5	6	6	6	6	6	11
5	1	1	1	1	5	6	6	6	6	6	6
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	背包大小

LeetCode413-等差数列划分

如果一个数列至少有三个元素，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该数列为等差数列。

例如，以下数列为等差数列:

1, 3, 5, 7, 9
7, 7, 7, 7
3, -1, -5, -9
以下数列不是等差数列。

1, 1, 2, 5, 7

数组 A 包含 N 个数，且索引从0开始。数组 A 的一个子数组划分为数组 (P, Q)，P 与 Q 是整数且满足 0<=P

如果满足以下条件，则称子数组(P, Q)为等差数组：

元素 A[P], A[p + 1], …, A[Q - 1], A[Q] 是等差的。并且 P + 1 < Q 。

函数要返回数组 A 中所有为等差数组的子数组个数。

示例:

A = [1, 2, 3, 4]

返回: 3, A 中有三个子等差数组: [1, 2, 3], [2, 3, 4] 以及自身 [1, 2, 3, 4]。

实现思路

1. 这题的特点是只要符合结果的数都必须增加放进去，而且每一个放进去的都是只能放一次。这就很符合01背包的定义了。通过分析可以知道:
   1. 对于[1,2,3]来说，加入4变成[1,2,3,4]时，增加了[2,3,4]和[1,2,3,4]
   2. 对于[1,2,3,4]来说，加入5变成[1,2,3,4,5]时，增加了[3,4,5]、[2,3,4,5]和[1,2,3,4,5]
   3. 这就是有规律的，如果是等差数列的时候，每增加一个数，等差数列增加的数量就比前一个等差数列增加的数量多一个
2. 边界条件：数组个数少于3时不组成等差数列，直接返回0即可

实现代码

class Solution {
     
  public int numberOfArithmeticSlices(int[] A) {
     
    // 边界条件
    if (A == null || A.length < 3)
      return 0;

    // 使用数组记录加入第i个数时，等差数列增加的数量
    // tips：此处可以使用一个变量即可
    int[] dp = new int[A.length];
    int slice = A[1] - A[0];	// 计算前两个数的差值
    int sum = 0;	// 子数组的个数总和
    for (int i = 2; i < A.length; i++) {
     
      int tmp = A[i] - A[i-1];
      if (slice == tmp) {
     	// 当前两个数的差值等于前两个数的差值，组成等差数列
        dp[i] = dp[i-1] + 1;	// 第i个数新增的数组个数 = 第i-1新增的数组个数 + 1
        sum += dp[i];	// 子数组的个数 = 前i-1个数的数组个数总和 + 第i个数加入后新增的数组个数
      } else {
     
        dp[i] = 0;	// 当前两个数的差值与前两个数的差值不一致，从头开始计算
        slice = tmp;	// 更新差值
      }
    }
    return sum;
  }
}

示例

以数组[1,2,3,4,8,9,10]为例，对应的图表如下所示，最后的结果只需要计算最后一行的总和即可。

对应为最后一个数	1	2	3	4	8	9	10
10	0	0	1	2	0	0	1
9	0	0	1	2	0	0
8	0	0	1	2	0
4	0	0	1	2
3	0	0	1
初始化	0	0

LeetCode213-打家劫舍 II

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都围成一圈，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你在不触动警报装置的情况下，能够偷窃到的最高金额。

示例 1:

输入: [2,3,2]
输出: 3
解释: 你不能先偷窃 1 号房屋（金额 = 2），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 2）, 因为他们是相邻的。
示例 2:

输入: [1,2,3,1]
输出: 4
解释: 你可以先偷窃 1 号房屋（金额 = 1），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 3）。
偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

解题思路

1. 由于这是一个环，意味着选择了第一个就不能选择最后一个，所以要分两种情况讨论：
   1. 从第一个开始偷，那第一个就必须选。代表第2、3个的价值总和都是S1。然后以第i个作为结尾的时候，第i个不能偷，第i个的最大价值总和为Max(第i-1个的价值Wi-1+第i-2个的价值总和Si-2，第i-1个的价值总和Si-1)
   2. 从第2个开始偷，那第一个的价值总和为0，第二个的价值总和S2=W2。最后一个是可以偷的，所以第i个的价值总和为Max(第i个的价值Wi+第i-1个的价值总和Si-1，第i-1个的价值总和)
2. 边界条件：
   1. 数组长度为0时直接返回0
   2. 数组长度为1时，直接返回数组中的数即可
   3. 数组长度为2时，直接返回数组中最大的那一个即可。因为第一种情况中

代码

class Solution {
     
  public int rob(int[] nums) {
     
    // 边界条件
    if (nums == null || nums.length == 0) {
     
      return 0;
    }

    // 边界条件
    if (nums.length == 1) {
     
      return nums[0];
    }

		// 边界条件
    if (nums.length == 2) {
     
      return Math.max(nums[0], nums[1]);
    }
    
    int[] dp = new int[nums.length + 1];
    // 从第一个开始偷，由于偷了第一个，所以第二个不可能偷。
    // 当第三个为最后一个时，也不偷第三个
    dp[1] = nums[0];
    dp[2] = dp[1];
    dp[3] = dp[1];
    for (int i = 4; i <= nums.length ; i++) {
     
      dp[i] = Math.max(nums[i - 2] + dp[i - 2], dp[i - 1]);
    }
    int value = dp[nums.length];
    // 第一个不偷
    dp[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= nums.length; i++) {
     
      dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i - 1]);
    }
    return Math.max(dp[nums.length], value);
  }
}

示例

• 当数组为[4,1,2,7,5,3,1]时，从第一个开始偷的结果

对应的最后一个数	4	1	2	7	5	3	1
1	4	4	4	6	11	11	max(3+11,11)=14
3	4	4	4	6	11	max(5+6,11)=11
5	4	4	4	6	max(7+4,6)=11
7	4	4	4	max(2+4,4)=6
初始化	4	4	4

• 从第二个开始偷的结果

对应的最后一个数	4	1	2	7	5	3	1
1	0	1	2	8	8	11	max(1+8,11)=11
3	0	1	2	8	8	max(3+8,8)=11
5	0	1	2	8	max(5+2,8)=8
7	0	1	2	max(7+1,2)=8
2	0	1	max(2+0,1)=2
1	0	max(1+0,0)=1
初始化	0

最后结果只需要取两个表最后一个数的最大值，此处是Max(11, 14)=14。

参考：

• 崔添翼. 背包问题九讲 2.0 beta1.2, 2012-05-08
• LeetCode. China