Catalan数(卡特兰数)

一.基本公式:

先说明下组合数的公式:

定义:


性质:


递推式:c(n,m)=c(n-1,m-1)+c(n-1,m)


具体证明这里不加赘述,毕竟我们只关心卡特兰数能够解决哪些问题。详细证明请参考维基百科https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E5%A1%94%E5%85%B0%E6%95%B0

卡特兰数:

求解公式:


递归公式:

1./begin{displaymath}C_0 = 1 /quad , /quad C_{n+1}=/sum_{i=0}^{n}C_i/,C_{n-i}/quad n/ge 0/end{displaymath}

2.h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

#include
using namespace std;
int n;
unsigned long long c[50];

int get_c1()
{
	int i,j,p=1;

	for(i=n+1,j=1;i<=2*n;i++,j++)
	{
		p=p*i/j;
	}
	return p/(n+1);
}
void get_c2()
{
	for(int i=2;i<=30;i++)
	{
		c[i]=(4*i-2)*c[i-1]/(i+1);
	}
}
int main()
{
	c[0]=c[1]=1;
	get_c2();
	while(cin>>n)
	{
		cout<<"定义: "<



二.来看几道基本的数学竞赛题:

2003年浙江省小学数学夏令营竞赛考了这个题:圆周上10个点可以连成既不相交,也没有公共端点的5条线段,不同的连法共有_____种。

答:方法的种数是卡特兰数C5=42,此题被收录进单墫主编的知识出版社出版的《华数奥赛强化训练》小学六年级册的“计数问题”专题。


共六种类型,第1类有5种连法,第2类有2种连法,第3类有10种连法,第4类有10种连法,第5类有10种连法,第6类有5种连法。共有42种连法。

1994年《小学数学》有奖征答竞赛:游乐园门票1元一张,每人限购一张。现在有10个小朋友排队购票,其中5个小朋友每人只有1元的钞票一张,另5个小朋友每人只有2元的钞票一张,售票员没有准备零钱。问:有多少种排队方法,使售票员总能找的开零钱?

(此题也被许多奥数资料收录为例题或习题,《华罗庚学校数学课本》小学六年级册的思维训练也收有此题)

答:现把拿1元的5个小朋友看成是相同的,把拿2元的5个小朋友也看成是相同的,使用我们常用的“逐点累加法”:

图中每条小横段表示拿1元的小朋友,每条小竖段表示拿2元的小朋友,要求从A走到B的过程中网格中任何点均有横段数不小于竖段数:拿1元的要先,且人数不能少于拿2元的,即不能越过对角线AB:每个点所标的数即为从A走到此点的方法数。求从A到B的走法的方法数。逐点累加可求出为42,即卡特兰数C5=42。



又由于每个小朋友是不相同的,所以共有42×5!×5!=42×120×120=604800种情况。

若把此题的10个人,拿1元的有5人,拿2元的有5人改为共有2n个人,拿1元的n人,拿2元的n人,则符合要求的排队方法数为:





再一个卡特兰数的例子:

甲乙两人比赛乒乓球,最后结果为20∶20,问比赛过程中甲始终领先乙的计分情形的种数。

即甲在得到1分到19分的过程中始终领先乙,其种数是卡特兰数





再一个卡特兰数的例子

饭后,姐姐洗碗,妹妹把姐姐洗过的碗一个一个放进碗橱摞成一摞。一共有n个不同的碗,洗前也是摞成一摞的,也许因为小妹贪玩而使碗拿进碗橱不及时,姐姐则把洗过的碗摞在旁边,问:小妹摞起的碗有多少种可能的方式?

答:得数是第n个卡特兰数Cn

再一个卡特兰数的例子

一个汽车队在狭窄的路面上行驶,不得超车,但可以进入一个死胡同去加油,然后再插队行驶,共有n辆汽车,问共有多少种不同的方式使得车队开出城去?

答:得数是第n个卡特兰数Cn


三.卡特兰数求解问题汇总

1.括号化问题。

  矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种)

  • Cn= n对括号正确匹配组成的字符串数,例如 3对括号能够组成:
  

2.出栈次序问题。

  Cn=一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

类似:有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

  3.三角形问题

  • Cn= n+2条边的多边形,能被分割成三角形的方案数,例如 6边型的分割方案有:

 

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  类似:一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她

  从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?

  类似:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

  

  • 4.Cn= 拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量。例如 4个叶子节点的所有二叉树形态:

 

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  • 5.Cn= 圆桌周围有 2n个人,他们两两握手,但没有交叉的方案数。

  • 6.Cn=n*n的方格地图中,从一个角到另外一个角,不跨越对角线的路径数,例如, 4×4方格地图中的路径有:

 

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