信贷风险评分卡

先上一张评分卡

一、评分卡逻辑

信贷业务评估的是客户的客户违约率（Percent of Default）即PD，是[0,1]的概率，比如2%即100个客户中有2个违约，简称为p。

评分卡中不直接用客户违约率p，而是用违约概率与正常概率的比值，称为Odds，即

$Odds=\frac{p}{1-p}$， $p=\frac{Odds}{1+Odds}$

评分卡的背后逻辑是Odds的变动与评分变动的映射（把Odds映射为评分），分值是根据Odds的前提条件算出来的，不是人工取的。以单个客户在整张评分卡的得分的变动（比如评分从50分上升到70分）来反映Odds的变动（比如Odds从5%下降至1.25%），以及背后相对应的客户违约率PD的变动（比如从4.8%下降到1.2%）。违约率PD不直观、业务看起来不方便、不便计算，而评分就很直观、便于计算。如图所示。

因此评分卡的生成过程，就是Odds变动映射成评分变动的过程。

二、评分映射公式

Odds映射为评分的公式为：

$Score=A-Blog(\frac{p}{1-p})$

<1> 预设条件

要算出系数A、B的话，需要从业务角度先预设两个前提条件：

1. 在某个特定的比率${\theta }_0$设定特定的预期分值$P_0$
2. 指定比率翻番时分数的变动值（PDO）

解释：

1. 比如根据业务经验，消费金融信贷的客户违约率4.8%算正常（${\theta }_0=Odds=5\%)）。预设评分卡的分值为0-100分，那取预期分值$P_0)为50分，并指定当Odds按双倍上下浮动时（比如2.5%或10%），分值则对应上下变动10分（比如60分或40分）。
2. 这里${\theta }_0$=5%是根据业务经验来的，没有数学依据；
3. 0-100分是根据做评分卡的需要来的，没有数学依据。要是想做成600-1000分的评分卡也可以，修改对应的$P_0$和PDO就行；
4. $P_0$=50分是根据0-100分来的，也可以取45分或73分，不重要。重要的是随着Odds翻番变动时，分数也随之变动的联动变化体系（你翻番我就变PDO=10分）

<2> 求解A、B

设定好${\theta }_0$、$P_0$、PDO后，联动变化为：$Odds({\theta }_0)$对应的分值为$P_0$，且翻番的$Odds(2{\theta }_0)$对应的分值为$P_0$+PDO。则有以下两式：

$P_0=A-Blog({\theta }_0)$

$P_0+PDO=A-Blog(2{\theta }_0)$

解出A、B为：

$B=\frac{PDO}{log(2)}$

$A=P_0+Blog({\theta }_0)$

按上面的解释举个例子：

设${\theta }_0$、$P_0$、PDO为5%、50分、10分，则

$B=\frac{10}{ln(2)}=14.43$

$A=50+14.43\ast ln(0.05)=6.78$

则

$Score=6.78-14.43log(\frac{p}{1-p})$

<3> 完整的对应关系表

按照公式，可以把所有$Odds(\frac{p}{1-p})$和客户评分、客户违约概率（PD）的对应关系算出来

该关系对应表应该算信用评分卡的核心思想了，评分是外层表现，客户违约率是内层核心，Odds是中间层转换计算

三、Odds映射X变量

那问题来了，现在能算Score了，但输入是Odds。但数据的输入是特征变量$[x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n]$，这里怎么对应呢？这就要说到逻辑回归本身了，先放结论：

$log(\frac{p}{1-p})={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+\cdots +{\beta }_n{x}_n$

怎么来的，以下详细讲。

<1> Sigmoid

逻辑回归来源于线性回归（二维空间中就是一条直线拟合所有样本点），虽然线性回归是回归算法，逻辑回归是分类算法，但从算法表达式上，逻辑回归就是在线性回归算法外面套了一层壳。

线性回归：
$$f(x)={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+\cdots +{\beta }_n{x}_n$$

逻辑回归：
$$f(x)=\frac{1}{1+e^{-({\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+\cdots +{\beta }_n{x}_n)}}$$

可以看到，从表达式上看，逻辑回归只是在线性回归的表达式外面套了一层$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$的壳。为什么要套这层壳，因为线性回归的值域为实数集R，但逻辑回归是二分类算法，需要输出的是类别1和类别2的概率，而概率是个[0, 1]之间的数。因此需要将线性回归的输出实数变成[0, 1]之间的概率，而能满足输入是实数而输出是[0, 1]的，就是Sigmoid函数，它的图形是个类S（见上面逻辑回归图）的限定在[0, 1]之间的函数。因此将Sigmoid函数套在线性回归外面，构成逻辑回归，拥有处理非线性的能力，可以做分类。

<2> 变换公式形式

那么在信贷评分卡上，$f(x)$即为要预测的客户违约率（PD）$p$，另将${\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+\cdots +{\beta }_n{x}_n$简写为向量形式${\beta }^{T}x$，即：

$p=\frac{1}{1+e^{-{\beta }^{T}x}}$

经过变换，可得$ln(\frac{p}{1-p})={\beta }^{T}x$

四、X变量细分到分组

好，回到主线，$log(\frac{p}{1-p})={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+\cdots +{\beta }_n{x}_n$，将score公式中的输入p变成输入特征变量X。到这里按理就可以结束了，有X就可以产出客户的Score，即：

$Score=A-B({\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+\cdots +{\beta }_n{x}_n)$

但我们要做的是分组评分卡，X是要对应到每个分组，得到各变量分组的评分然后相加得到客户总评分的，那就还需要将X打散到各分类（用离散型数据入逻辑回归模型）。因此这里的输入X就不能是原始变量，而是原始变量分箱并算WOE后的woe值（类似离散变量中各类别的数值化），即：

$Score=A-B[{\beta }_0+{\beta }_1({\delta }_{11}{w}_{11}+{\delta }_{12}{w}_{12}+{\delta }_{13}{w}_{13})+{\beta }_2({\delta }_{21}{w}_{21}+{\delta }_{22}{w}_{22}+{\delta }_{23}{w}_{23}+{\delta }_{24}{w}_{24})+\cdots +{\beta }_n({\delta }_{n1}{w}_{n1}+{\delta }_{n2}{w}_{n2})]$

1. 假设类别型变量$x_1$、$x_2$、$x_n$分别有3、4、2个分类（数值型变量先分箱成类别型变量）
2. ${\delta }_{ij}$代表第i个变量的第j个分类，客户数据参与评分时，某个变量x只会有1个数，只会对应一个分类。比如，变量$x_1$的取值是第2个分类的话，那${\delta }_{12}$为1，则第二个分类的woe值$w_{12}$生效，$x_1$的其他两个$\delta$则为0，对应的其他两个分类的woe值无效不参与计算

五、生成评分卡

将上面的公式变下形式，变成最终可以组成评分卡的样式，即：
$$\begin{array}{rl}Score=A-B\{{\beta }_0& +({\beta }_1{w}_{11}){\delta }_{11}+({\beta }_1{w}_{12}){\delta }_{12}+({\beta }_1{w}_{13}){\delta }_{13}\\ & +({\beta }_2{w}_{21}){\delta }_{21}+({\beta }_2{w}_{22}){\delta }_{22}+({\beta }_2{w}_{23}){\delta }_{23}+({\beta }_2{w}_{24}){\delta }_{24}\\ & +\cdots \\ & +({\beta }_n{w}_{n1}){\delta }_{n1}+({\beta }_n{w}_{n2}){\delta }_{n2}\}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}Score=(A-B{\beta }_0)& -(B{\beta }_1{w}_{11}){\delta }_{11}-(B{\beta }_1{w}_{12}){\delta }_{12}-(B{\beta }_1{w}_{13}){\delta }_{13}-(B{\beta }_1{w}_{14}){\delta }_{14}\\ & -\cdots -(B{\beta }_n{w}_{n1}){\delta }_{n1}-(B{\beta }_n{w}_{n2}){\delta }_{n2}\end{array}$$

A、B已经算出，$\beta$是逻辑回归模型的输出系数，${\beta }_0$是逻辑回归模型的输出截距项，w是分箱后的woe值

嗯，至此评分卡就可以生成了。