模板 - 树上问题（树的直径、动态查询树的直径、树的重心）
整理的算法模板合集： ACM模板
目录
- 一、树的直径
-
- 树形DP
- 两次DFS / BFS（找到直径的两个端点）
- 二、动态修改树的边权并求每个时刻的直径（线段树）
- 三、树的重心
一、树的直径
树的直径满足如下性质：
-
若有多条直径，则所有的直径之间皆有公共点。
-
直径的两端一定是叶子。
-
树中距离某一直径端点最远的点，至少有一个是该直径的另一个端点。
-
对于树上任意一个点，与之距离最远的一个点，至少有一个直径的端点。
给你一个无权无向的树。编写程序以输出该树中最长路径（从一个节点到另一个节点）的长度。在这种情况下，路径的长度是我们从开始到目的地的遍历边数。
树形DP
O ( n ) O(n) O(n)
const int N = 50007, M = 500007, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, F[N], D[N], ans ;
int ver[N], nex[M], head[N], edge[N], tot;
bool vis[N];
void add(int x, int y, int z)
{
ver[tot] = y;
edge[tot] = z;
nex[tot] = head[x];
head[x] = tot ++ ;
}
void dp(int x){
vis[x] = 1;
for(int i = head[x] ;~i; i =nex[i]){
int y = ver[i], z = edge[i];
if(vis[y])continue;
dp(y);
ans = max(ans, D[x] + D[y] + z);
D[x] = max(D[x], D[y] + z);
}
}
int main(){
scanf("%d", &n);
memset(head, -1, sizeof head);
for(int i = 1; i < n; ++ i){
int x, y;
scanf("%d%d", &x, &y);
add(x, y, 1), add(y, x, 1);
}
dp(1);
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
两次DFS / BFS（找到直径的两个端点）
O ( n ) O(n) O(n)
//两次dfs一次求P一次求Q
void dfs(int u,int &ed){
if(dis[u] > ans)ans = dis[u],ed = u;
vis[u] = 1;
for(int i = head[u];~i;i = nex[i]){
int v = ver[i],w = edge[i];
if(vis[v])continue;
dis[v] = dis[u] + w;
dfs(v,ed);
}
return ;
}
int p,q;
void solve(){
dfs(1,p);
ans = dis[p] = 0;
memset(vis,0,sizeof vis);
dfs(p,q);
cout << ans << endl;
}
在一棵无根树上，找 A , B , C A,B,C A,B,C三个点，使得 A B + B C ( A C > B C ) AB+BC(AC>BC) AB+BC(AC>BC)或 A C + A B ( B C > A C ) AC+AB(BC>AC) AC+AB(BC>AC)最大。
我们假设 A C > B C AC>BC AC>BC，那么答案就是找到最大 A B + B C AB+BC AB+BC简单贪心一下，先令AB最大，然后再找一个相应的最大的BC，强调要满足(AC>AB)所以我们首先找出树的直径，然后枚举除了两个端点外的点 C C C，使得 m i n ( A C , B C ) min(AC,BC) min(AC,BC)最大，答案就是树的直径 + m i n ( A C , B C ) +min(AC,BC) +min(AC,BC)
typedef long long ll;
const int N = 500007, M = 5000007, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
ll d[N], copy_d[N];
bool vis[N];
int head[N], ver[M], nex[M], edge[M], tot;
void add(int x, int y, int z)
{
ver[tot] = y;
edge[tot] = z;
nex[tot] = head[x];
head[x] = tot ++ ;
}
int bfs(int S)
{
queue<int>q;
memset(d, 0, sizeof d);
memset(vis, 0, sizeof vis);
//while(q.size())q.pop();
q.push(S), vis[S] = 1;
int maxx = 0, maxid;
while(q.size()){
int x = q.front();
q.pop();
for(int i = head[x]; ~i; i = nex[i]){
int y = ver[i], z = edge[i];
if(vis[y])continue;
vis[y] = 1;
d[y] = d[x] + z;
q.push(y);
if(d[y] > maxx){
maxx = d[y];
maxid = y;
}
}
}
return maxid;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(head, -1, sizeof head);
for(int i = 1; i <= m; ++ i){
int x, y, z;
scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
add(x, y, z);
add(y, x, z);
}
int p, q;
p = bfs(1);
q = bfs(p);
ll ans = d[q];//the length of AB
for(int i = 1; i <= n; ++ i){
copy_d[i] = d[i];
}
bfs(q);
ll res = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++ i){
res = max(res, min(d[i], copy_d[i]));//find the longest edges among the remaining edges
}
ans += res;
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
二、动态修改树的边权并求每个时刻的直径（线段树）
有一个n个点的带权无向树，q次操作，每次修改一条边的权值，要求在每次修改后，输出树的直径大小，强制在线。
/*lmx,rmx,lmi,rmi,ld,rd,lrd,ans前缀/后缀的最大/最小和，前缀右减左最大，
后缀右减左最大，两端点必须选满右减左最大，任意子串右减左最大*/
#include三、树的重心
重心的性质
- 以树的重心为根时，所有子树的大小都不超过整棵树大小的一半。
- 把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树，那么新的树的重心在连接原来两棵树的重心的路径上。
- 在一棵树上添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。
- 树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么到它们的距离和一样。
- 一棵树最多有两个重心，且相邻。
给定一棵树,求树的重心的编号以及重心删除后得到的最大子树的节点个数size,如果size相同就选取编号最小的.
const int N = 50007, M = 500007, INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
int n, m;
int head[N], ver[M], nex[M], tot;
ll T;
int son[N], ans, pos;
bool vis[N];
void add(int x, int y)
{
ver[tot] = y;
nex[tot] = head[x];
head[x] = tot ++ ;
}
void dfs(int x)
{
vis[x] = 1, son[x] = 1;
int res = 0;
for(int i = head[x]; ~i; i = nex[i]){
int y = ver[i];
if(!vis[y]){
dfs(y);
son[x] += son[y];
res = max(res, son[y]);//x下面的子树
}
}
res = max(res, n - son[x]);//x上面的子树
if(res < ans || (res == ans && x < pos)){
ans = res, pos = x;
}
}
int main()
{
scanf("%lld", &T);
while(T -- ){
tot = 0;
memset(head, -1, sizeof head);
memset(vis, 0, sizeof vis);
ans = INF;
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i < n; ++ i){
int x, y;
scanf("%d%d", &x, &y);
add(x, y), add(y, x);
}
dfs(1);
printf("%d %d\n", pos, ans);
}
return 0;
}