洛谷 P3475 [POI2008]POD-Subdivision of Kingdom

把一张无向图分为两个点集，使得不同点集的点之间的边数最少，n<=26。

n<=26，所以，可以爆搜，然后用二进制表示某个点是在第一个点集还是在第二个点集。初始化所有点都在点集S2中，然后在爆搜的过程中不断更新最小值。

那么，下面就可以得到一个爆搜程序

#include 
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
const int N=14;
int n,m,x,y,s1,s2,ans,ans1;
int p[N<<1];

inline int getnum(int p)
{
     
	int sum=0;
	for (register int i=1; i<=n; ++i) if ((1<<(i-1))&p) sum++;
	return sum;
}

void dfs(int x,int now,int sum)
{
     
	if (now==n/2)
	{
     
		if (sum<ans) ans=sum,ans1=s1;
		return;
	}
	for (register int i=x+1; i<=n; ++i)
	{
     
		int add1=getnum(p[i]&s1);
		int add2=getnum(p[i]&s2);
		s1|=(1<<(i-1));
		s2^=(1<<(i-1));
		dfs(i,now+1,sum-add1+add2);
		s1^=(1<<(i-1));
		s2|=(1<<(i-1));
	}
}

int main(){
     
	ans=2e9;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (register int i=1; i<=m; ++i)
	{
     
		scanf("%d%d",&x,&y);
		p[x]|=(1<<(y-1));
		p[y]|=(1<<(x-1));
	}
	s1=0; s2=(1<<n)-1;
	dfs(0,0,0);
	for (register int i=1; i<=n; ++i) if (ans1&(1<<(i-1))) printf("%d ",i);
return 0;
}

上交后发现，Tle 5个点，爆搜复杂度是正确的呀？c[26][13]十分小。原来，对于每一个状态，都会执行两次O(n)的getnum，所以因为这个大常数，TLE。

那么，我们就把每一个状态产生的贡献预处理一下吧

下面就是预处理的过程。

inline int query(int x)
{
     
	int res=0;
	while (x)
	{
     
		res++;
		x-=lowbit(x);
	}
	return res;
}
for (register int p=0; p<(1<<26); ++p) s[p]=query(p); 

然而，在这个过程中，我们又发现了一个问题：(1<<26)*4/1024/1024=256MB,如果是在NOIP中，一般是512MB内存没有任何问题，但是，洛谷内存限制为125MB，所以，炸内存了。

怎么解决这个问题呢?

设s[p]是p这个数用二进制表示后1的个数，然后，我们假设现在p二进制位数为8，那么可以得到：s[p]=s[p>>4]+s[p-((p>>4)<<4)]，就是把8位的总贡献分为前四位和后四位来统计，是不是觉得很神奇。当然，s[p]=s[p>>3]+s[p-((p>>3)<<3)]（前5位和后3位），s[p]=s[p>>2]+s[p-((p>>2)<<2)]（前6位和后2位）…

所以，对于一个26位的数，我们可以把它分为前1位和后25位，前2位和后24位，前3位和后23位… 那么，我们只要把它分为前13位和后13位来统计，就可以把数组开到1<<13了，当然，你想再开大点，比如分为前14位和后12位等等等等，都没关系。

下面给出AC代码

#include 
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
const int N=14;
int n,m,x,y,s1,s2,ans,ans1;
int p[N<<1],s[1<<N];

inline int query(int x)
{
     
	int res=0;
	while (x)
	{
     
		res++;
		x-=lowbit(x);
	}
	return res;
}

inline int suan(int x)
{
     
	return s[x>>13]+s[x-((x>>13)<<13)];
}

void dfs(int x,int now,int sum)
{
     
	if (now==n/2)
	{
     
		if (sum<ans) ans=sum,ans1=s1;
		return;
	}
	for (register int i=x+1; i<=n; ++i)
	{
     
		int add1=suan(p[i]&s1);
		int add2=suan(p[i]&s2);
		s1|=(1<<(i-1));
		s2^=(1<<(i-1));
		dfs(i,now+1,sum-add1+add2);
		s1^=(1<<(i-1));
		s2|=(1<<(i-1));
	}
}

int main(){
     
	ans=2e9;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (register int p=0; p<(1<<13); ++p) s[p]=query(p); 
	for (register int i=1; i<=m; ++i)
	{
     
		scanf("%d%d",&x,&y);
		p[x]|=(1<<(y-1));
		p[y]|=(1<<(x-1));
	}
	s1=0; s2=(1<<n)-1;
	dfs(0,0,0);
	for (register int i=1; i<=n; ++i) if (ans1&(1<<(i-1))) printf("%d ",i);
return 0;
}