补码是什么
点这里获得更好的阅读体验
补码（2’s complement）是计算机用于表示诸如 +20，-17 这样有符号整数的方式。如在 C 语言中（或者许多其他的静态类型语言），整形数据类型 int 代表长度为 4-Bytes (32-bits) 的有符号数，可表示的范围为 [ − 2 31 , 2 31 − 1 ] [-2^{31}, 2^{31} - 1] [−231,231−1]，这个范围里的数字有正有负，都是有符号数，而他们在计算机中就是通过补码来表示的。在这些有符号数里正数的补码与我们的直觉相同，但负数的补码形式需要一些转换，本文介绍如何得到一个数的补码，如何读懂补码以及补码内在的原理。
得到补码
-30 在计算机中是如何表示的呢？首先我们认为它是一个有符号整数，那么在计算机中就是用补码表示的，如何得到它对应的补码形式？首先给出结论：按位取反再加一，下面以 8-bits ，即八位二进制位为例，计算-30 的补码：
先写出 30 的二进制形式
0 0 0 1 1 1 1 0
按位取反
1 1 1 0 0 0 0 1
再加一
1 1 1 0 0 0 1 0
这就是 -30 的补码
30 与我们的直觉相同，就是 30 的二进制形式 0 0 0 1 1 1 1 0。
读懂补码
如果给我们一个补码，例如上文得到的 -30 的补码，我们如何能知道这个补码表示的数是多少呢，同样，这里先给出结论：若补码最高位为 0，则代表是正数，可直接按照正常步骤转化为十进制，就像上文得到的 30 的补码就是 30 的二进制形式一样，若最高位为 1，则代表是负数，要知道负数的补码形式代表的数字，可以先想办法翻转补码的符号，这样就得到的其正数表示，而正数的补码形式又可以直接转化为 10 进制，最后就可知道它代表的是哪个负数了！而翻转符号的方法也是，按位取反再加一。
有如下最高位为 1 的补码
1 1 1 0 0 0 1 0
按位取反
0 0 0 1 1 1 0 1
再加一
0 0 0 1 1 1 1 0
这是二进制形式的 30，于是 1 1 1 0 0 0 1 0 代表的是 -30。
int 的范围
在介绍部分说到在 C 语言中，数据类型 int 代表长度为 4-Bytes (32-bits) 的有符号数，可表示的范围为 [ − 2 31 , 2 31 − 1 ] [-2^{31}, 2^{31} - 1] [−231,231−1]，这是如何得到的呢？
最小整数
观察下面这个 32-bits 的数
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
最高位为 1，代表是负数，对他进行符号翻转，按位取反再加一，得到
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
这是二进制形式的 2 31 2^{31} 231，可知 − 2 31 -2^{31} −231 是 int 能表示的最小整数
最大整数
观察下面这个 32-bits 的数
0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111
最高位为 0，代表是正数
这是二进制形式的 2 31 − 1 2^{31} - 1 231−1，可知 2 31 − 1 2^{31} - 1 231−1 是 int 能表示的最大整数
为什么选择补码
补码有简化计算机内部算术单元电路的优势，若采用补码，加减法的电路可以统一，请看下面的例子：
计算 16 + 30
0 0 0 1 0 0 0 0 (16)
- 0 0 0 1 1 1 1 0 (30)
——————————————————————
0 0 1 0 1 1 1 0 (46)
计算 16 - 30
也即 16 + (-30)
0 0 0 1 0 0 0 0 (16)
- 1 1 1 0 0 0 1 0 (-30)
———————————————————————
1 1 1 1 0 0 1 0 (-14)
对于结果 1 1 1 1 0 0 1 0，对其进行符号翻转 （按位取反再加一） 后得到
0 0 0 0 1 1 1 0
这是二进制形式的 14，与预期相符。
从上面两个例子可以看出，补码加减法的算法是统一的，这也统一了计算机内部算术单元的电路逻辑。
为什么是 “按位取反再加一”
如果你不满足于只知道方法，而想知道为什么 “按位取反再加一” 能够奏效，那你可以继续看下去，或者直接跳过这部分。
要想把正数的符号翻转，可以通过 0 减去这个正数，就得到了他对应的负数，就像正数 30，用 0 减去它就得到 -30。下面看看如何得到二进制形式 30 对应的负数：
0 0 0 0 0 0 0 0 (0)
- 0 0 0 1 1 1 1 0 (30)
——————————————————————
1 1 1 0 0 0 1 0 (-30)
可以看到高位一直在出现 1，因为我们一直在向高位借一，虽然还可以继续减下去，但由于我们限制在 8 位，因此计算机不会继续计算了。
发现了吗，得到的结果其实就是 -30 的补码形式。在计算过程中，我们一直在向高位借一，那为什么不在被减数 0 的最高位之前再加上一个 1 来满足这无休止的借位呢？
因此对于一个 n 位的二进制数，要得到与之符号相反的数，可以用 2 n 2^n 2n 减去它。例如此处 n = 8（数字上也就代表一个 1 后跟了 8 个 0)，要得到与 30 符号相反的数，可以用 2 8 2^8 28 减去，即下面这个算式：
1 0 0 0 0 0 0 0 0 (2^8)
- 0 0 0 1 1 1 1 0 (30)
————————————————————————
0 1 1 1 0 0 0 1 0 (-30)
而 1 0 0 0 0 0 0 0 0 (2^8) 等于 ( 2 8 − 1 ) + 1 (2^8 - 1) + 1 (28−1)+1，即 8 个 1 再加 1：1 1 1 1 1 1 1 + 1，而用其中的 1 1 1 1 1 1 1 1 减去一个数就相当于对这个数按位取反，另一部分 + 1 就是加一。
总结起来就是按位取反再加一。
参考
Two’s Complement By Cornell
关于 2 的补码 By 阮一峰