什么是一阶逻辑（First-order Logic）

实际上，一阶逻辑是一种形式系统（Formal System)，即形式符号推理系统，也叫一阶谓词演算、低阶谓词演算(Predicate Calculus）、限量词（Quantifier）理论，也有人称其为“谓词逻辑”，虽然这种说法不够精确。总之，不管怎么说，一阶逻辑就是一种形式推理的逻辑系统，是一种抽象推理的符号工具。

          我们要注意的是，一阶逻辑不同于单纯的“命题逻辑”（Proposition Logic），因为，一阶逻辑里面使用了大量所谓“限量词变量”（Quantified variables），比如：∃x（意思是存在一个变量x），限量词符号“∃”是把字母“E”从左向右反转过来产生的，其原本的意思的“Exist”（存在)；而限量词∀x（对所有的变量x），符号”∀“是将字母”A“从下向上反转而产生的，其原本意思是”All“（所有、全部）。在这里，逻辑符号”∃“和”∀“就是一阶逻辑的”限量词“（Quantifer）。实际上，在一阶逻辑的文献中，你会看到以下一阶逻辑的逻辑表达式：

                                                 ∃x(Math(x)) → Prof(x)

注意：其中的箭头符号”→“表示：”如果......，那么......“的逻辑关系，而该逻辑表达式里面的字符串”Matr”与“Prof”就是所谓的逻辑“谓词”（可以任意赋值），也就是说，Math(x)的意思代表”x是数学家“，而谓词“Prof（x)”表示”x是教授“。那么，上述整个逻辑表达式的意思是：有一个（或存在一个）数学家x是教授，在严格意义上就是：如果x是数学家，那么，他必定是教授。

           由此，我们可以大胆地设想，把整个数学理论内容用一阶逻辑表达式全部写出来，成果就像是一本”天书“，一般人很难看得懂。但是，布尔巴基学派偏要这样做，否则，似乎不够”意思“，不过”瘾“。因此，我们能够想像，在布尔巴基的《数学基础丛书》里面各种稀奇古怪的数学谓词多得去了。对此，有人说，这纯粹是形式主义，但是，也有人说，这就是现代数学的本来面目。

          在布尔巴基心目中 ，微积分就是在实数系上的一种用一阶逻辑表达的数学结构，什么牛顿-莱布尼兹定理，其实都是一串一阶逻辑的表达式，什么”无限趋近“，什么”趋于无穷大“，这些模棱两可的糊涂说法统统不见了。倒霉的数学教员，不知如何是好。不过，仔细想想，用一阶逻辑写的教科书也很干净，什么都写的清清楚楚，一是一，二是二。在数学中用不着整天看别人的”眼色“过日子，是就是是，不是就是不是，口是心非完全没有必要。

           学习一阶逻辑的要点是：弄清楚存在限量词”∃“与所有限量词”∀“的正确用法，不要被逻辑表达式所迷惑。用一阶逻辑表达式编写数学教材，节约纸张，但是，学习起来很费脑筋。为便于今后的阅读，建议读者很好的理解此文的内容。

          说明：对于我们而言，一阶逻辑非常重要。今后，我们采用一边阅读，一边学习的方式逐步交代一阶逻辑的内容，大家不必担心看不懂。