【算法详解】洗牌算法

1. 问题描述

洗牌算法是常见的随机问题；它可以抽象成：得到一个M以内的所有自然数的随机顺序数组。

常见问题描述：

1.将自然数1 ～ 100随机插入到一个大小为100的数组，无重复元素

2. 1 ～ 52张扑克牌重新洗牌

什么是好的洗牌算法：

洗牌之后，如果能够保证每一个数出现在所有位置上的概率是相等的，那么这种算法是符合要求的；这在个前提下，尽量降低时间和空间复杂度。

2. 算法实现

第一个算法：

随机抽出一张牌，检查这种牌是否被抽取过，如果已经被抽取过，则重新抽取，知道找到没有被抽取的牌；重复该过程，知道所有的牌都被抽取到。

这种算法是比较符合大脑的直观思维，这种算法有两种形式：

1. 每次随机抽取后，将抽取的牌拿出来，则此时剩余的牌为(N-1)，这种算法避免了重复抽取，但是每次抽取一张牌后，都有一个删除操作，需要在原始数组中删除随机选中的牌(可使用Hashtable实现)

2. 每次随机抽取后，将抽取的符合要求的牌做好标记，但并不删除；与1相比，省去了删除的操作，但增加了而外的存储标志为的空间，同时导致可每次可能会抽取之前抽过的牌

这种方法的时间/空间复杂度都不好。

第二个算法：

每次随机抽出两张牌交换，交换一定次数后结束：

void shuffle(int* array, int len)
{
    const int suff_time = len;
	
    for (int idx = 0; i < suff_time; i++)
	{
	    int i = rand() % len;
		int j = rand() % len;
		
		int temp = array[i];
		array[i] = array[j];
		array[j] = temp;
	}
}

这是一个常见的洗牌算法; 但是如何确定一个合适的交换次数?

假设交换了m此,则某张牌始终没有被交换的概率为 (n-2)/n * (n-2)/n, ... ...* (n-2)/n = ((n-2)/n)^m;我们希望其概率小于摸个值,求出m的解.假设概率小于1/1000,对于n=52,m大概为176,实际上远远大于数组的长度.

第三个算法:

Fisher–Yates shuffle算法

该算法每次随机选取一个数，然后将该数与数组中最后(或最前)的元素相交换(如果随机选中的是最后/最前的元素，则相当于没有发生交换)；然后缩小选取数组的范围，去掉最后的元素,即之前随机抽取出的数。重复上面的过程，直到剩余数组的大小为1，即只有一个元素时结束：

void shuffle(int* array, int len)
{
    int i = len;
	int j = 0;
	int temp= = 0;
	
	if (i == 0)
	{
	    return;
	}
	
	while (--i)
	{
	    j = rand() % (i+1);
		temp = array[i];
		array[i] = array[j];
		array[j] = temp;
	}
}

该算法的数学证明请参照具体的论文或者 博文;

该算法复杂度为O(n)，且各元素随机概率相等。