AcWing321.棋盘分割(区间DP)题解

棋盘分割

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题目描述

将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行)

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。

现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。

均方差 ，其中平均值 ，xi为第 i 块矩形棋盘的总分。

请编程对给出的棋盘及n，求出均方差的最小值。

输入格式

第1行为一个整数n。

第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。

输出格式

输出最小均方差值（四舍五入精确到小数点后三位）。

数据范围

1

输入样例：

3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3

输出样例：

1.633

题解：

我们可以用记忆化搜索来做, 对于当前方块, 我们可以横向切,也可以纵向切,切完之后我们可以选择其中的一半继续

进行切割找出所有情况的最小值

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 15, M = 9, INF = 1e9;
int n;
int s[N][N]; //存前缀和
double f[M][M][M][M][N]; //表示坐标(x1, y1),(x2, y2)这个方块切割k次的最小值
double x;  //存平均值
double get(int x1, int y1, int x2, int y2)   //获得题目要求的方差
{
     
    double sum = s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1] - x;
    return sum * sum * 1.0 / n; //化简后的公式
}
double dp(int x1, int y1, int x2, int y2, int k)
{
     
    double &v = f[x1][y1][x2][y2][k];
    if(v >= 0) return v;  //如果已经有值了，直接返回
    if(k == 1)return v = get(x1, y1, x2, y2);  //如果是最后一次分割了,直接返回
    v = INF; 
    for(int i = x1; i < x2; i++) {
     //枚举横切
        v = min(v, dp(x1, y1, i, y2, k - 1) + get(i + 1, y1, x2, y2));//选上面的继续进行切割
        v = min(v, dp(i + 1, y1, x2, y2, k - 1) + get(x1, y1, i, y2)); //选下面的继续进行切割
    }
    for(int i = y1; i < y2; i++){
     //枚举纵切
        v = min(v, dp(x1, y1, x2, i, k - 1) + get(x1, i + 1, x2, y2));//选左边的继续进行切割
        v = min(v, dp(x1, i + 1, x2, y2, k - 1) + get(x1, y1, x2, i)); //选右边的继续进行切割
    }
    return v;
}
int main()
{
     
    cin >> n;
    for(int i =1; i <= 8; i++)
        for(int j = 1; j <= 8; j++){
     
            cin >> s[i][j];
        
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1]; //求前缀和
        }
    memset(f, -1, sizeof f);
    x = s[8][8]*1.0 / n;  //得到平均值
    printf("%.3lf\n", sqrt(dp(1, 1, 8, 8, n)));
    return 0;
}