数位DP 入门学习详解

数位DP

什么是数位DP

数位DP是DP的一种，顾名思义，按每一个数位来进行DP。

什么时候使用

题目的要求与一个数字相关，并且它能通过每一个数位来进行转移。
例题：求所有$n$位数中能被$m$整除的数的个数。

怎么使用

一般的DP是多维的，首先会有一维表示的是当前到了第几位，通常情况这一维可以使用滚动。
其它的就是根据题目的实际要求了，如例题就需要一维来记录除以$m$的余数。
以例题为例，我们来讲讲数位DP怎么实现。

状态与转移

我们设$f[i][j]$表示当前到了第$i$位，除以$m$的余数为$j$的方案数。
一般是从高位往低位DP，因为最高位不能为$0$，所以我们对$i=1$的情况先处理好：
$$f[1][i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m]=1(1\le i\le 9)$$

接着我们用第$i$位的状态去更新第$i+1$位的状态，每次枚举当前在第$i+1$位加入$k$。
想想怎么转移？
对于当前的余数$j$，在末尾加入了$k$，余数变成什么？
根据同余的性质，我们自然可以得到：余数变成了$(j\ast 10+k)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$。
所以，状态转移方程如下：

$$f[i+1][(j\ast 10+k)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m]+=f[i][j](1\le i<n，0\le j<m，0\le k\le 9)$$

最后的答案是什么？
首先，第一维自然是$n$，那么第二维取什么值呢？
显而易见，要求是$m$的倍数，所以第二维是$0$。
综上所述，最后的答案是$f[n][0]$。

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