leetcode397.整数替换

题目大意

给定一个正整数 n，你可以做如下操作：

1. 如果 n 是偶数，则用 n / 2替换 n。
2. 如果 n 是奇数，则可以用 n + 1或n - 1替换 n。
   n 变为 1 所需的最小替换次数是多少？

示例 1:

输入:
8
输出:
3

示例 2:

输入:
7
输出:
4

解题思路

如果当前数字是偶数，/2。如果当前数字是奇数，可以+1，也可以-1.

方法一：

动态规划（超时）。状态转移方程分奇偶：

• 奇数：dp[i] = min(dp[(i - 1) / 2], dp[(i + 1) / 2]) + 2；（因为是从前往后推的，dp[i]的时候还没计算dp[i+1]，但我们知道i+1是个偶数，所以只要知道(i + 1) / 2的值，然后+2即可）
• 偶数：dp[i] = dp[i / 2] + 1;

class Solution {
     
public:
    int integerReplacement(int n) {
     
    	if(n == 1)
    		return 0;

    	vector<int> dp(n + 1, 0);
    	for (int i = 2; i <= n; ++i){
     
    		if (i & 1){
     
    			dp[i] = min(dp[(i - 1) / 2], dp[(i + 1) / 2]) + 2;
    		}
    		else{
     
    			dp[i] = dp[i / 2] + 1;
    		}
    	}
    	return dp.back();
    }
};

方法二：

递归。思路同上。只不过在动态规划的时候，会产生很多无用解，例如求24的时候，22这个解就没用，因此动态规划浪费了很多时间。

class Solution {
     
public:
    int integerReplacement(int n) {
     
    	if (n == 1)
    		return 0;
        if (n == 2147483647)
            return 32;
    	if ((n & 1) == 0)
    		return integerReplacement(n >> 1) + 1;
    	else
    		return 1 + min(integerReplacement(n + 1), integerReplacement(n - 1));
    }
};

方法三：

从二进制角度进行考虑。

这道题这么考虑：如果我当前数字结尾是0，将该数字右移一位，直接可以消掉一位；如果该数字结尾是1，我们首先需要将1变为0，然后才能右移。我们希望一次性能消掉越多的1越好（要不然每次都需要将1变成0才能右移）。
因此：

• 如果是xxx01这种形式：+1和-1都能消掉最后一个1，但是+1的方法会在倒数第二位上产生一个新的1，所以这种情况下应该-1；
• 如果是xxx011这种新式：+1和-1都能消掉最后一个1，但是-1只能消掉1个1，还会剩余1个1，+1的方式会消掉2个1，但也会产生一个新的1.因此这个情况下（xxx011），+1/-1次数一样的。但是xxx111或者更多1相连的时候，+1能够消掉更多1，因此统一+1即可；
• 需要特别注意：3这个数字，-1比+1次数少，单独考虑；

class Solution {
     
public:
    int integerReplacement(int n) {
     
    	if (n == 2147483647){
     
    		return 32;
    	}
    	if (n == 1){
     
    		return 0;
    	}
    	int res = 0;
    	while (n > 1){
     
    		if ((n & 1) == 0)
    			n >>= 1;
    		else if ((n & 3) == 3 && (n != 3))
    			++n;
    		else
    			--n;
    		++res;
    	}
    	return res;
    }
};