图的计算（2）：带权图的最短路径
带权图(weighted digraph)
设G=(V,E)是一简单图。称一元函数 w:E®R+ 为图G 的权函数，使得 对于每一条边eÎE，均有一正实数w(e)ÎR+与之对应，称图G 为带有权w的图，简称为带权图。并记为G=(V,E, w)。
最短路(shortest path)
设G=(V,E,w)是一带权图。
(1)设P=(ei1, ei2,¼, eik)是G中的一条路。则路P的路长
定义为： w(P)=
；
(2)从结点u到结点v的最短路P0是满足下述条件的路：
w(P0)=min{ w(P) êP为从u到v的路} 。
注：当带权图中各边的权值都为1时，则路长的定义就蜕化为§3一般图的路长定义了。
E.W.Dijkstra算法(1959)：
算法的目标是求出带权图G中从结点v0到结点vn的最短路。
特别地，最短路P0 的任一真前缀(v0, v1, v2,¼, vk)(k< n)也是最短的。
否则，将局部段换为最短的，则可得一比P0更短的路P0¢，这与已知P0是最短路矛盾。
No1.P:={v0} ； T :=V\{v0} ； /*设定P-T界面*/
d(v0) :=0；(tT)(d(t) := ) ；
/*做圆标号(用一重for循环可实现) */
p := v0 ； mark(v0) := d(v0) ； /*做方标号*/
No2. (tT)(d(t) := min{d(t) , d(p)+w(p,t)}) ；
/*按离界面最近方向修改圆标 号(用一重for循环可实现)*/
(t0T)(tT)(d(t0) d(t)) ；
/*寻求T 中圆标号最小的结点t0 (用一重for循环及if比较可实现)*/
No3.P:=P{t0} ； T :=T\{t0} ； /*修改P-T界面*/
p := t0 ； mark(t0) := d(t0) ； /*改圆为方*/
No4.if t0 = vn then goto exit ；
else goto No2 ；
将带权图G的结点集V分成两部分：一部分称为具有P标号(方标号)的集合；另一部分称为具有T标号(圆标号)的集合。所谓结点vi的P标号是指从v0到vi的最短路的路长；而结点vi的T标号是指从v0到vi的某条路径的长度。
Dijkstra算法首先将v0取为 P 标号结点；其余的结点均取为T标号结点；然后按离P-T界面最近方向逐步地将具有T标号的结点改为P标号结点。当结点vn也被改为P标号结点时，也就求出了从(起始)结点v0到各个结点vi的最短路长；尤其是求出了从(起始)结点v0到(终结)结点vn的最短路长。
程序计算法：
1. P={v0}；T={v1,v2,v3,v4,v5}；
d(v0)=0； d(v1)=d(v2)=d(v3)=d(v4)=d(v5)=； p=v0；
2. d(v1)=1 ； d(v2)=4 ； d(v3)=d(v4)=d(v5)=；
t0 =v1；
3. P={v0,v1}； T={v2, v3,v4,v5}； p=v1；
4. t0v5； go to 2；
2. d(v2)=3 ； d(v3)=8 ； d(v4)=6 ； d(v5)= ；
t0=v2 ；
3. P={v0,v1,v2}； T={v3,v4,v5}； p=v2；
4. t0 v5 ； go to 2 ；
2. d(v3)=8 ； d(v4)=4 ； d(v5)= ；
t0 = v4 ；
3. P={v0,v1,v2, v4}；T={v3, v5}； p=v4；
4. t0 v5 ； go to 2；
2. d(v3)=7； d(v5)=10；
t0= v3；
3. P={v0, v1, v2, v4, v3}； T={v5} ； p=v3；
4. t0v5 ； go to 2；
2. d(v5)=9；
t0=v5 ；
3. P={v0,v1,v2,v4,v3,v5} ； T={ }； p=v5；
4. t0=v5 ；exit ；
注： ·显然，图上作业法的优点是直观，缺点是画图麻烦。 可以将No2步和No3步的图合为一个图，以达简化的目地(例如图3和图4可合并成一个图)；
·显然，程序计算法的优点是简便、机械，缺点是缺乏直观性、计算出错不易检查。
·Dijkstra算法能够一次性的求出从起点v0到带权图G中其余每一个结点的最短路长(就是各结点方标号中的数值)。
·Dijkstra算法没有直接给出从起点v0到带权图G中其余各结点的最短路。因此，要直接给出从起点v0到带权图G中其余各结点的最短路，需要修改Dijkstra算法，或者①给其嵌入记忆系统(用表结构或仅记前一个结点)；或者②给其增加回溯功能。
Dijkstra算法的特点：
·Dijkstra算法是沿着P-T界面(按离界面最近方向)向前推进的；而不是沿着最短路向前推进的。
Dijkstra算法的计算工作量主要是集中在No2。在úPê=k , úTê=n-k(0£k £ n-1)时，当P再增加一个结点，需进入一次循环：
从表1可得Dijkstra算法的(时间)复杂性是n2级的； (空间)复杂性也是n2级的。
|
|
加法(次) |
比较(次) |
存贮量(单元) |
| 算一个结点 |
1 |
1 |
1 |
| 算一次循环 |
n-k-1 |
2(n-k-1) |
1 |
| 完成计算 |
|
n(n-1) |
|
