从零开始的算法学习生活——①高精度运算（2）

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前言

上一篇文章简单提及了高精度加法运算，那么这次让我们看看高精度乘法与高精度模板相应的实现吧！

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一、高精度乘法

1.分析

回想一下A+B高精的实现，我们从竖式加法中得到启发，发现了数组实现大数加法的本质，那么这里我们不妨从竖式乘法的角度分析，通过下表来观察其实质。

举个例子，342*456=155,952，下表是每一位的运算过程。

数	第5位	第4位	第3位	第2位	第1位	第0位
a				3	4	2
b				4	5	6
a*b[0]				18	24	12
a*b[1]			15	20	10
a*b[2]		12	16	8
加和		12	31	46	34	12
处理进位	1	5	5	9	5	2
结果	1	5	5	9	5	2

仔细观察可以发现，对于某两位之间的乘法运算结果a[i]*b[j]，其对于最终结果的贡献都在第i+j位上。利用这一条性质，我们可以先将所有的贡献计算出来，最后进行进位处理，提升了运算效率。

2.例题

1.题面

传送门: 洛谷P1303（A*B Problem）

2.AC代码

附上AC代码

#include
#include
using namespace std;
const int max_n = 2002;//最大位数
int a[max_n],b[max_n],c[max_n];
int main()
{
     
    string A,B;
    cin>>A>>B;
    int lenA = A.length(),lenB = B.length();
    for (int i = 0,j = lenA-1; j>=0; i++,j--)
        a[i] = A[j] - '0';
    for (int i = 0,j = lenB-1; j>=0; i++,j--)
        b[i] = B[j] - '0';
    for (int i = 0; i < lenA; i++){
     //计算每一位的贡献
        for (int j = 0; j < lenB; j++){
     
            c[i+j] += a[i] * b[j];
        }
    }
    int len = lenA + lenB;//两数乘积的最大位数不超过两数位数之和
    for(int i = 0;i < len;i++){
     //从低位至高位依次处理进位
        c[i + 1] += c[i] / 10;
        c[i] %= 10;
    }
    while (!c[len-1]){
     
        len--;//去除多余0位
    }
    for (int i = max(0,len-1);i >=0;i--)//这里使用max函数是为了处理乘数为0的情况
    {
     
        cout<<c[i];
    }//输出
    return 0;
}

PS：此代码的时间复杂度为O(n²)，n为数的位数。若要进行优化，则可以通过快速傅里叶变换来加速高精度乘法，将其优化为O(nlogn)，由于比较复杂，在此不作深入说明。

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二、高精度模板

1.分析

到此，我们已经了解了用数组模拟大数并进行加法与乘法的本质与方法，那么有一个很自然的问题，能不能使用一个模板，使得每次需要使用高精度运算时，或者同时需要使用加法与乘法运算时，能够使用同一个模板进行运算呢？

根据C++的特性，我们可以通过封装结构体，并重载运算符的方式来实现一个高精度模板。

2.实现

#define MAX_N 200
//封装结构体
struct BigNum{
     
    int len;//数的位数
    int a[MAX_N];//各数位数组

    BigNum(int x = 0){
     //通过初始化使其默认表示整形x = 0
        memset(a,0,sizeof(a));//初始化
        for (len = 0; x ;len++){
     
            a[len] = x % 10;
            x /= 10;
        }
    }
    int &operator [](int i){
     
        return a[i];
    }

    void flatten(int L){
     //从第0位到第L-1位进行进位处理，L不小于有效长度
        len = L;
        for(int i = 0;i < len;i++){
     //从低位至高位依次处理进位
        a[i + 1] += a[i] / 10;
        a[i] %= 10;
        }
        while (!a[len-1]){
     
            len--;//去除多余0位,使其重置为有效长度
        }
    }

    void print(){
     //输出
        for (int i = max(0,len-1);i>=0;i--){
     
            printf("%d",a[i]);
        }
    }
};

//重置+(两个大数相加)
BigNum operator+(BigNum a,BigNum b){
     
    BigNum c;
    int len = max(a.len,b.len);
    for (int i = 0; i<len ; i++ ){
      //从低位至高位依次作加法运算
        c[i]+= a[i]+b[i];
    }
    c.flatten(len+1);
    return c;
}

//重置*(两个大数相乘)
BigNum operator*(BigNum a,BigNum b){
     
    BigNum c;
    int lenA = a.len,lenB = b.len;
    for (int i = 0; i < lenA; i++){
     //计算每一位的贡献
        for (int j = 0; j < lenB; j++){
     
            c[i+j] += a[i] * b[j];
        }
    }
    int max_len = lenA + lenB;
    c.flatten(max_len);
    return c;
}

//重置*(大数与int型相乘)
BigNum operator*(BigNum a,int b){
     
    BigNum c;
    int len = a.len;
    for (int i = 0; i < len; i++){
     //计算每一位的贡献
            c[i] = a[i] * b;
    }
    c.flatten(len+11);//int型的最大长度为10位
    return c;
}

3.例题

例题传送门：洛谷P1009（阶乘之和）

1.题面

题目描述
用高精度计算出$S=1!+2!+3!+\cdots +n!（n\le 50）$

输入格式
一个正整数 $n$。

输出格式
一个正整数 $S$，表示计算结果。

输入输出样例
输入 #$1$
$3$
输出 #$1$
$9$

说明/提示
【数据范围】
对于$100\%$ 的数据，$1\le n\le 50。$

2.分析

阶乘达到22的时候，已经超出了long long的储存范围，这里利用前面写封装好的高精模板，就能轻松的解决此题。

3.AC代码

添加上相应的头文件后，就能正常运行啦！（这里只贴出main函数模拟题意代码）

int main(){
     
    BigNum ans(0),fac(1);
    int n;
    cin>>n;
    for (int i = 1;i <= n;i++){
     
        fac = fac * i;
        ans = ans + fac;
    }
    ans.print();
    return 0;
}

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总结

到此为止，高精度运算就暂时告一段落了，高精度运算的主要实质为数组模拟大数进行逐位运算，理解起来不算非常复杂，而通过进一步封装，得到的高精度模板能够方便简洁地实现相应的大数运算。