二维数组的二分法查找

二维数组内的二分查找

发表于：2012年04月18日  12:07 0

【题目】
已知一个二维整数数组（或者说，一个整数矩阵），每行从左到右递增，每列从上往下递增。要求定义一个函数，输入矩阵和某个整数k，判断k是否在这个矩阵内。

【思路】
像四叉树那样递归查找，这是一种思路，不过我不是很喜欢。我希望一个循环就能搞定，不希望碰到类似于回溯之类的逻辑。

如果一个循环就搞定，那么最好是能像切西瓜一样，把不要的部分一点点切掉，同时剩下的部分仍旧是规整的一块。

观察以下矩阵（为方便行文，矩阵内全是正整数，大于0小于10的数在十位上补0）。
01，02，08，09
02，04，09，12
04，07，10，13
06，08，11，15

易得，该矩阵的最小值m在左上角，最大值M在右下角。易证得，这不是个案，是个普遍的规律；并且，从这样的一个矩阵中任意圈出一个子矩阵，也符合这个规律。一个整数k，如果小于m或者大于M，则必然不在这个矩阵内。

继续探索这种矩阵的性质，看是否有线索。

将该矩阵分成上下两部分：
01，02，08，09
02，04，09，12
 ------------
04，07，10，13
06，08，11，15

如果一个整数k，大于上半部分右下角的值（这里是12），则k必然不在上半部分。

如果一个整数k，小于上半部分左上角的值（这里是04），则k必然不在下半部分。

将该矩阵分成左右两部分：
01，02 | 08，09
02，04 | 09，12
04，07 | 10，13
06，08 | 11，15

如果一个整数k，大于左半部分右下角的值（这里是08），则k必然不在左半部分。

如果一个整数k，小于右半部分左上角的值（这里是08），则k必然不在右半部分。

有以上推论做基础，我们就可以设计“切蛋糕”式的算法了。

【方法1】

先说个思路，不太严格：

01：在最上面的一条边上，通过二分法查找k，找到就退出。否则，找到比k大的最小整数，将其所在及右边的列统统“切掉”。

02：在最下面的一条边上，通过二分法查找k，找到就退出。否则，找到比k小的最大整数，将其所在及左边的列统统“切掉”。

03：在最左面的一条边上，通过二分法查找k，找到就退出。否则，找到比k大的最小整数，将其所在及下边的行统统“切掉”。

04：在最右面的一条边上，通过二分法查找k，找到就退出。否则，找到比k小的最大整数，将其所在及上边的行统统“切掉”。

05：以上每一步中，“切”之前的矩阵大小如果为0，则失败退出；以上四步结束后，如果还没找到，则返回01，继续切。

举例如下。在以下矩阵中寻找07。
01，02，08，09
02，04，09，12
04，07，10，13
06，08，11，15

过程如下：
01：最上面一行，找不到07，而比07大的最小整数是08。切一刀，得到以下矩阵
    01，02
    02，04
    04，07
    06，08
02：最下面一行，找不到07，而比07小的最小整数是06。切一刀，得到以下矩阵
    02
    04
    07
    08
03：最左面的一列……好吧，找07应该很容易了。顺利退出。

以上所描述的算法，有两个问题没解决：第一，是否已经最优；第二，怎样从数学上证明，“算法找到目标数k”的充分条件就是“矩阵含有目标数k”。后者不难证，前者要考虑。

【方法2】
仍旧使用这个例子：在以下矩阵中寻找07。
01，02，08，09
02，04，09，12
04，07，10，13
06，08，11，15

考察方法1切割矩阵的过程，我们可以发现，第二刀似乎白切了，只需要第一刀和第三刀。问题来了：能否把方法1中的第二步忽略掉？而第三步和第四步，能否也只保留一个？

先将这个算法写出来，再探讨它是否有效。
01：在最上面的一条边上，通过二分法查找k，找到就退出。否则，找到比k大的最小整数，将其所在及右边的列统统“切掉”。

02：在最右面的一条边上，通过二分法查找k，找到就退出。否则，找到比k小的最大整数，将其所在及上边的行统统“切掉”。

03：以上每一步中，“切”之前的矩阵大小如果为0，则失败退出；以上两步结束后，如果还没找到，则返回01，继续切。

需要证明有效性：
> 当k确实存在于矩阵中的时候，以上算法中的第一步和第二步都是可以执行的；
> 当算法结束的时候，如果没找到k，那么矩阵中肯定没有k

讨论如下：
* 令矩阵左上角的数为m，右下角的数为M。当k确实存在于矩阵中的时候，它必然满足m<=k<=M。
* 如果我们以矩阵右上角为轴，将矩阵最右边一列逆时针旋转90度，与矩阵最上面一行拼起来，必然形成一个头为m尾为M的递增数列S。
* 如果m<=k<=M，那么要么能在S中找到k，要么能找到两个相邻的数p和q，满足p * p和q要么同在最上面一行，要么同在最右边一列。因此，第一步和第二步，至少有一个能产生一个有效的“切割”，排除掉至少一行或者一列。
* 完成一个有效切割之后，k必然仍旧在余下的矩阵内，令其左上角的数为m'右下角的数为M'则必然满足m'=k<=M'
* 因此，“k确实存在于矩阵中”是“方法2能找到k”的充分条件。

经过以上的讨论，方法2可以改良一下：
01：令矩阵左上角的数为m，右下角的数为M。判断目标数k是否满足m<=k<=M。不满足，则失败退出。
02：以矩阵右上角为轴，将矩阵最右边一列逆时针旋转90度，与矩阵最上面一行拼起来，形成一个头为m尾为M的递增数列S。
03：在S中查找k。找到，则成功退出。否则，应该能找到两个相邻的数p和q，满足p 04：如果p和q同在最上面一行，则将q所在列及其右边的列“切掉”，返回01；
05：如果p和q同在最右边一列，则将p所在行及其上边的行“切掉”，返回01

该方法的时间复杂度，应该是O((h+w)*log(h+w))，其中h是矩阵高，w是矩阵宽。

应该还可以再优化。