matlab---基于蚁群算法求解Tsp旅行商问题

蚁群算法

一、定义
 蚁群算法是对自然界蚂蚁的寻径方式进行模似而得出的一种仿生算法：蚂蚁在运动过程中，能够在它所经过的路径上留下信息素的物质进行信息传递，而且蚂蚁在运动过程中能够感知这种物质，并以此指导自己的运动方向。
 由大量蚂蚁组成的蚁群集体行为便表现出一种信息正反馈现象：某一路径上走过的蚂蚁越多，则后来者选择该路径的概率就越大。
 蚁群算法具有分布计算、信息正反馈和启发式搜索的特征，本质上是进化算法中的一种启发式全局优化算法。

二、思想
 将蚁群算法应用于解决优化问题的基本思路为：用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解，整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化问题的解空间。路径较短的蚂蚁释放的信息素量较多，随着时间的推进，较短的路径上累积的信息素浓度逐渐增高，选择该路径的蚂蚁个数也愈来愈多。最终，整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上，此时对应的便是待优化问题的最优解。

蚁群算法的影响因素

(1)感知范围：蚂蚁观察到的范围是一个方格世界，相关参数为速度半径，因此可能陷入局部最优
(2)环境信息：蚂蚁所在环境中其他蚂蚁、信息素，还可能有障碍物，信息素以一定速率降低或消失。
(3)觅食规则：蚂蚁在感知范围内寻找食物，如果感知到就会过去，否则朝信息素多的地方移动
(4)移动规则：蚂蚁朝信息素最多的方向移动，当周围没有信息素指引时，会按照原来运动方向惯性移动。而且会记住最近走过的点，防止原地转圈。
(5)避障规则：当蚂蚁的移动方向有障碍物时，将随机选择其他方向；当有信息素指引时，将按照觅食规则移动。
(6)散发信息素规则：在刚找到食物或者窝时，蚂蚁散发的信息素最多；当随着走远时，散发的信息素将逐渐减少。

蚁群算法的实现

 蚂蚁找到最短路径要取决于信息素和环境，假设有两条路可通向食物，开始时两条路上的蚂蚁数量差不多：当蚂蚁到达终点之后会立即返回，距离短的路上的蚂蚁往返一次时间短，重复频率快，在单位时间里往返蚂蚁的数目就多，留下的信息素也多，会吸引更多蚂蚁过来，会留下更多信息素。而距离长的路正相反，因此越来越多的蚂蚁聚集到最短路径上来。
 蚂蚁的智能行为得益于其简单的行为规则，该规则让其具有多样性和正反馈。在觅食时，多样性使蚂蚁不会走进死胡同而无限循环，是一种创新能力；正反馈使优良信息保存下来，是一种学习强化能力。两者的巧妙结合使智能行为涌现，如果多样性过剩，系统过于活跃，会导致过多的随机运动，陷入混沌状态；如果多样性不够，正反馈过强，会导致僵化，当环境变化时蚁群不能相应调整

运算过程

1、蚂蚁在路径上释放信息素。
2、碰到还没走过的路口，就随机挑选一条路走。同时，释放与路径长度有关的信息素。
3、信息素浓度与路径长度成反比。后来的蚂蚁再次碰到该路口时，就选择信息素浓度较高路径。
4、最优路径上的信息素浓度越来越大。
5、最终蚁群找到最优寻食路径。

算法特点

(1)采用正反馈机制，使得搜索过程不断收敛，最终逼近最优解。
(2)每个个体可以通过释放信息素来改变周围的环境，且每个个体能够感知周围环境的实时变化，个体间通过环境进行间接地通讯。
(3)搜索过程采用分布式计算方式，多个个体同时进行并行计算，大大提高了算法的计算能力和运行效率。
(4)启发式的概率搜索方式不容易陷入局部最优，易于寻找到全局最优解。

运用蚁群算法解决TSP问题

（一）问题描述
 TSP问题可以用一个带权完全图G=(N,A)来表示，其中N是带有n=|N|点（城市）的集合，A是完全连接这些点的边的集合。每一条边（i,j）属于A都带有一个权值，它代表城市i与城市j之间的距离。TSP问题就是要找到图中的最短哈密尔顿回路。

1、构建图：构建图与问题描述图是一致的，成份的集合C对应着点的集合（即：C=N），连接对应着边的集合（即L=A）,且每一条边都带有一个权值，代表点i和j之间的距离。
2、约束条件：所有城市都要被访问且每个城市最多只能被访问一次。
3、信息素和启发式信息：TSP 问题中的信息素表示在访问城市i后直接访问城市j的期望度。启发式信息值一般与城市i和城市j的距离成反比。
4、解的构建：每只蚂蚁最初都从随机选择出来的城市出发，每经过一次迭代蚂蚁就向解中添加一个还没有访问过的城市。当所有城市都被蚂蚁访问过之后，解的构建就终止。

（二）蚁群算法的数学模型
 AS中的随机比例规则；对于每只蚂蚁k，路径记忆向量Rk按照访问顺序记录了所有k已经经过的城市序号。设蚂蚁k当前所在城市为i，则其选择城市j作为下一个访问对象的概率为：

 nij(t)为启发函数，表示蚂蚁从城市i转移到城市j的期望；
 J_k （i）为蚂蚁j待访问城市集合。开始时，J_k （i）中有n-1个元素，即包括了除了蚂蚁j的出发城市，在进行迭代后，J_k （i）中的元素逐渐减少，直至为空。
 Alpha为信息素重要程度因子，反映了蚂蚁在运动过程中积累的信息量在蚁群搜索中的重要性
 Beta为启发函数因子，反映了启发式信息在知道蚁群搜索过程中的相对重要程度，其大小反映了蚁群遍历过程中确定性因素的作用强度。
 在蚂蚁遍历各城市的过程中，在蚂蚁释放信息素的同时，各个城市之间连接路径上的信息素的强度也在通过挥发等方式逐渐消失。为了描述这个特征，设ρ表示信息素挥发程度。这样所有蚂蚁完成走完一遍所有城市之后，各个城市键连接路径上的信息素浓度为

 m是蚂蚁个数
 ρ是信息素的蒸发率，规定0≤ ρ≤1，在AS中通常设置为 ρ =0.5，
 Δτ_ij是第k只蚂蚁在它经过的边上释放的信息素量，它等于蚂蚁k本轮构建路径长度的倒数。
 C_k表示路径长度，它是R^k中所有边的长度和

（三）算法流程

（四）精华蚂蚁
1.定义
 精英蚂蚁是对蚁群算法的一种改进，所谓精英蚂蚁是指当全部蚂蚁都构造完各自的路径之后，所有路径中最短的那条路径所对应的蚂蚁。精英蚂蚁策略是指强化找到优于当前最优路径的蚂蚁对信息素浓度的影响
2.数学模型

 其中，e为精英蚂蚁个数，定义了给与路径t（i，j）的权值大小。在算法开始后，对已发现的最好路径给与额外的增强，并将随后与之对应的行程计入T_b。当进行信息素的更新时，对这些行程进行加权，同时将经过这些行程的蚂蚁记为“精英”。引入e有助于更好的引导蚂蚁搜索的偏向，使算法更收敛。

实现

（红色字体部分为精英蚂蚁代码）

ACO.m

%% 旅行商问题(TSP)优化
%% 清空环境变量
clear all
clc

%% 导入数据
citys = ceil(rand(30,2)*10000)   %产生随机的城市序列
load citys.mat

%% 计算城市间相互距离
fprintf('Computing Distance Matrix... \n');
n = size(citys,1);
D = zeros(n,n);
for i = 1:n
    for j = 1:n
        if i ~= j
            D(i,j) = sqrt(sum((citys(i,:) - citys(j,:)).^2));
        else
            D(i,j) = 1e-4;      
        end
    end    
end

%% 初始化参数
fprintf('Initializing Parameters... \n');
m = 50;                              % 蚂蚁数量
alpha = 1;                           % 信息素重要程度因子
beta = 5;                            % 启发函数重要程度因子
rho = 0.1;                           % 信息素挥发因子
Q = 1;                               % 常系数
Eta = 1./D;                          % 启发函数
Tau = ones(n,n);                     % 信息素矩阵
Table = zeros(m,n);                  % 路径记录表
iter = 1;                            % 迭代次数初值
iter_max = 150;                      % 最大迭代次数 
Route_best = zeros(iter_max,n);      % 各代最佳路径       
Length_best = zeros(iter_max,1);     % 各代最佳路径的长度  
Length_ave = zeros(iter_max,1);      % 各代路径的平均长度  

%% 迭代寻找最佳路径
figure;
while iter <= iter_max
    fprintf('迭代第%d次\n',iter);
    % 随机产生各个蚂蚁的起点城市
      start = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          temp = randperm(n);
          start(i) = temp(1);
      end
      Table(:,1) = start; 
      % 构建解空间
      citys_index = 1:n;
      % 逐个蚂蚁路径选择
      for i = 1:m
          % 逐个城市路径选择
         for j = 2:n
             tabu = Table(i,1:(j - 1));           % 已访问的城市集合(禁忌表)
             allow_index = ~ismember(citys_index,tabu);
             allow = citys_index(allow_index);  % 待访问的城市集合
             P = allow;
             % 计算城市间转移概率
             for k = 1:length(allow)
                 P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta;
             end
             P = P/sum(P);
             % 轮盘赌法选择下一个访问城市
             Pc = cumsum(P);     
            target_index = find(Pc >= rand); 
            target = allow(target_index(1));
            Table(i,j) = target;
         end
      end
      % 计算各个蚂蚁的路径距离
      Length = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          Route = Table(i,:);
          for j = 1:(n - 1)
              Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1));
          end
          Length(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1));
      end
      % 计算最短路径距离及平均距离
      if iter == 1
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min_Length;  
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
      else
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length);
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          if Length_best(iter) == min_Length
              Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
          else
              Route_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:);
          end
      end
      % 更新信息素
      Delta_Tau = zeros(n,n);
Delta_pheromone = zeros(n,n);

      % 逐个蚂蚁计算
      for i = 1:m
          % 逐个城市计算
          for j = 1:(n - 1)
              Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i);
 Delta_pheromone(Table(i,j),Table(i,j+1))=Delta_pheromone(Table(i,j),Table(i,j+1))+Q/Length(i);%Length(i)为第i只蚂蚁在本次循环中所走过的路径长度

          end
          Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);

delta_pheromone(tabu_list(i,n),tabu_list(i,1))=delta_pheromone(tabu_list(i,n),tabu_list(i,1))+Q/total_length(i);%把第i只蚂蚁在本次循环中在所有路径上释放的信息素经累加上去
   	     
      end
      Tau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;
    % 迭代次数加1，清空路径记录表
m_elitist = 2%精英蚂蚁的个数
Delta_pheromone_elitists=zeros(n,n);
for j=1:(n-1)
    	Delta_pheromone_elitists(Table(i,j),Table(i,j+1))=Delta_pheromone_elitists(Table(i,j),Table(i,j+1))+m_elitist*Q/Length_best(iter+1);
%Q/Length_best(iter+1)为本次循环中精英蚂蚁找出的最优路径的长度
    end
    Delta_pheromone_elitists(Table(i,n),Table(i,1))=Delta_pheromone_elitists(Table(i,n),Table(i,1))+m_elitist*Q/Length_best(iter+1);%在最优路径的每条边上释放了额外的信息素
  
    Tau=(1-rho).*Tau + Delta_pheromone + Delta_pheromone_elitists;%本次循环后所有路径上的信息素
    
    iter = iter + 1;
    tabu=zeros(m,n);
 % 迭代次数加1，清空路径记录表

 %   figure;
 %最佳路径的迭代变化过程
    [Shortest_Length,index] = min(Length_best(1:iter));
    Shortest_Route = Route_best(index,:);
    plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
    [citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
    pause(0.3);
 
    iter = iter + 1;
    Table = zeros(m,n);

 % end
end

%% 结果显示
[Shortest_Length,index] = min(Length_best);
Shortest_Route = Route_best(index,:);
disp(['最短距离:' num2str(Shortest_Length)]);
disp(['最短路径:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);

%% 绘图
figure(1)
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
     [citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
grid on
for i = 1:size(citys,1)
    text(citys(i,1),citys(i,2),['   ' num2str(i)]);
end
text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),'       起点');
text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),'       终点');
xlabel('城市位置横坐标')
ylabel('城市位置纵坐标')
title(['蚁群算法优化路径(最短距离:' num2str(Shortest_Length) ')'])
figure(2)
plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:')
legend('最短距离','平均距离')
xlabel('迭代次数')
ylabel('距离')
title('各代最短距离与平均距离对比')

实验结果及分析：
（一）普通蚁群算法
实验数据1：
该数据中蚂蚁数量为50，alpha = 1; beta = 5;信息素挥发因子rho = 0.1,
最大迭代次数150（以下改变参数均以与原始数据作为对比）

结果：


实验数据1，蚂蚁数量为100，alpha = 1; beta = 5;信息素挥发因子rho = 0.1,
最大迭代次数300


在实验数据一的基础上，将信息素调整为rho = 0.5;


Alpha=2，其余参数相同

Alpha=4,其余参数相同

Bete=3，其他因素不变

Bete=7，其他因素不变

使用语句city = ceil(rand(100,2) * 10000); load city.mat;
语句生成随机的城市序列

实验数据二：

实验数据二+默认参数

测试的所有数据：

（二）精华蚂蚁
实验数据1：
该数据中蚂蚁数量为50，alpha = 1; beta = 5;信息素挥发因子rho = 0.1,
最大迭代次数150（以下改变参数均以与原始数据作为对比）

rho=0.5

Alpha=2

Alpha=4

Bete=7

结果分析
1、蚂蚁数量50，迭代次数150与 蚂蚁数量100，迭代次数300
 在实验数据一中可以发现当蚂蚁数量增多（50->100），迭代次数增多（150->300）后，最短距离变小，从15518.1935变为15526.4251，当蚂蚁数量和迭代次数都增加一倍，但最短距离并没有明显变短，且各代的最短距离与蚂蚁数量50，迭代次数150趋于平缓都是在将近100代的时候，因此在实验数据一中，迭代次数50就已经足够了。
当蚂蚁数量过大，会使被搜索过的路径上的信息素的量变化趋于平均，导致算法收敛性减慢，过小的话，容易使未被搜索到的路径信息素的量减小，全局搜索随机性减弱，会过早进入停滞状态（即图像上平缓的部分）

2、 蚂蚁数量，迭代次数相同，rho=0.1与rho=0.5
 将信息素调整为0.5，可以发现当信息素增大，虽然信息素的挥发速度越来越快，但是寻找到的最短路径反而比之前的更短，当rho过小时，未被选中的路径上的信息素量将迅速衰减，容易陷入局部最优，算法的收敛性加大。另外，当rho过大时，被选中的路径上的信息素量增量减小，使搜索空间变大，这样算法虽然陷入局部最优的可能性减小，但是算法的收敛性降低。因此经过调试，rho取[0.5,0.9]时，较为合适。

3、蚂蚁数量，迭代次数，信息素相同，将信息素因素alpha=1与alpha=2、alpha=4
 当alpha=1时，平均距离是以较为平缓的速度逐渐减少，将alpha=2，在寻找各个城市的序列上并无差别，但最小距离增大，从图“各代最短距离与平均距离对比”中可以看出，当alpha=2时，在迭代次数大概为45-55代中间，平均距离有急剧下降的现象而后逐渐趋于平缓，且各代的最短距离在55代以内就已经趋于平缓。当alpha=4时，寻找到的城市序列出现了差别，此时起点是10，终点是7。迭代次数在40-55之间时，平均距离有急剧下降的现象而后逐渐趋于平缓，且各代的最短距离在30代以内就已经趋于平缓。且搜索到的最短距离也越来越大。Alpha的值越大，蚂蚁选择以前走过的路径的可能性就越大，局部最优路径上正反馈作用强，搜索的随机性就减弱，算法会过早收敛。但当alpha值过小时，收敛速度慢，就容易使蚁群陷入局部最优 。经过多次的调试，alpha的值在[1,3]最为合适。

4、Bete=3、bete=7
 当其他因素不变，bete改为3时，发现最短路径变小，且城市序列的起点为2，终点为10，在各代的最短距离与平均距离的总体趋势与bete=5差不多，在最短距离的迭代中，在大概10代的时候有一个急剧的减少。在bete=7，迭代过程中，各代的最短距离在10代以内就已经趋于平缓，bete的值反映了启发式信息在指导蚂蚁搜索过程中的重要程度。Bete过小，蚁群陷入随机搜索，就很难找到最优解。Bete过大，蚂蚁在某个局部点上选择局部最短路径的可能性也就越大，但蚁群搜索最优路径的随机性就减弱，容易陷入局部最优，且算法的收敛性可能变差。在调试中发现，bete的值取[3,6]较为合适。

5、 城市序列
 在随机生成的城市序列以及调试参数中发现，当蚂蚁数量：城市个数=1:1.5左右时，算法的收敛性较好。

在上面这些参数的改变过程中发现，蚁群算法两个比较严重的缺点，收敛性比较差以及容易陷入局部最优。

（二）精华蚂蚁
 从普通蚁群算法和精英蚂蚁系统的图中对比可以看出：引入精英蚂蚁系统后，最短距离变小，算法不会过早停滞，收敛性变大。这种改进能够以更快的速度获得最优解，但是如果选择过多的精英则会让算法过早收敛，陷入局部最优而进入停滞状态
 引入精英蚂蚁后，收敛速度明显变快，但算法的复杂度并没有变大。