一元二次方程的简单解法

记得在初中三年级就学过求解一元二次方程，万能的求根公式就行了。最近看到卡耐基梅隆大学的一个教授发明了一种简单方法¹，看起来有点意思，的确比求根公式要简单很多。

具体方法

对于任意一个一元二次方程都可以化简为如下形式：
$$x^2+bx+c=0$$
两个复数域的根为x1，x2.根据韦达定理

$$x_1+x_2=-b,x_1{x}_2=c$$

假定存在一个复数z使得：
$$\begin{gathered} x_1=-\frac{b}{2}+z \\ {x}_2=-\frac{b}{2}-z \end{gathered}$$

那么两个相乘就有：
$$x_1{x}_2=\frac{b^2}{4}-z^2=c$$
可以得到z的结果：
$$z=\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-c}$$
于是得到方程的解：
$$x_1{,}_2=-\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-c}$$
最终的结果化简以后就是求根公式的结果（否则就有问题了）。从以上的推导过程可能没有发现简单，接下来看几个例子。

例子说明

我们来看一个例子，求解下面方程的根：
$$x^2-2x+4=0$$
方程的两根为：
$$x_1{,}_2=1\pm z$$
$$(1+z)(1-z)=1-z^2=4$$
$$z=\pm \sqrt{3}i$$

于是方程的根为：
$$x_1{,}_2=1\pm \sqrt{3}i$$

我们再来看一了例子。求解下面方程的根
$$2x^2+3x-4=0$$
化简一下得到：
$$x^2+\frac{3}{2}x-2=0$$
假设方程的两根为：
$$x_1{,}_2=-\frac{3}{4}\pm z$$
$$(-\frac{3}{4}+z)(-\frac{3}{4}-z)=\frac{9}{16}-z^2=-2$$
$$z=\pm \frac{\sqrt{41}}{4}$$
于是方程的根为：
$$x_1{,}_2=-\frac{3}{4}\pm \frac{\sqrt{41}}{4}$$

总结

正如作者在原文中说到，使用这个方法你不需要记住公式，同时计算也非常简单。我觉得这个方法有意思的地方在于引入的数z，因为两根之和是-b/2，那么两个根应该在这个平均数上下浮动，假定这个浮动数就是z，只要解出这个浮动数z，方程的就能求解了，而求解z的时候是一个平方差公式，计算就变得非常容易了。

是不是有点意思。在此还是挺佩服作者的思考，不按常规出牌的思维。

参考资料

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1. A new way to make quadratic equations easy ↩︎