动态规划概述

注：第一次看不需要全理解，以后动态规划做多了，再回来看看，会有更深的理解

先符上其它文章，看完这篇就可以开始看这些咯。

萌新：                                                                         https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/79912328

入门：                                                                       https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/79964233

初级：（目前没写好）                                                https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/80212624

中级：                                                                        https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/81290789

2018hbcpc dp总结                                                      https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/80402820

HDU1029 HDU1087 HDU1176 HDU1257 POJ1458 https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/81390118

POJ2533 HDU1114 HDU1260 HDU1160                   https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/81393716

HDU1069 POJ3616 POJ1088                                   https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/81811310

POJ1189 UVA12511 HDU2845 HBCPC2018 K        https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/81837461

概述：动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。（摘自百度百科）

总结能用动规解决的问题的特点 ：

1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的 子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结 构性质。

2) 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程 的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪 种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没 有关系。 

 

动规解题的一般思路 

例子： 

                 7

             3    8        

          8    1    0    

       2    7    4    4

     4    5   2   6     5  

在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得 路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或 右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。 

用二维数组存放数字三角形。 
 
 D( r, j)   : 第r行第 j 个数字(r,j从1开始算)  

MaxSum(r, j) :   从D(r,j)到底边的各条路径中 最佳路径的数字之和。  

问题：求 MaxSum(1,1) 
 
D(r, j)出发，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故对于N行的三角形： 
 
  if ( r == N) MaxSum(r,j) = D(r,j)  

else  MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j) 

1. 将原问题分解为子问题 
 
 把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同 或类似，只不过规模变小了。子问题都解决，原问题即解 决(数字三角形例）。

 子问题的解一旦求出就会被保存，所以每个子问题只需求 解一次。 

2. 确定状态 
 
 在用动态规划解题时，我们往往将和子问题相 关的各个变量的一组取值，称之为一个“状 态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题， 所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状 态”所对应的子问题的解。 

所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态 空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。 在数字三角形的例子里，一共有N×(N+1)/2个数字，所以这个 问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。         整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需 时间。             在数字三角形里每个“状态”只需要经过一次，且在每个 状态上作计算所花的时间都是和N无关的常数。

 
  用动态规划解题，经常碰到的情况是，K个整型变量能 构成一个状态（如数字三角形中的行号和列号这两个变量 构成“状态”）。如果这K个整型变量的取值范围分别是 N1, N2, ……Nk，那么，我们就可以用一个K维的数组 array[N1] [N2]……[Nk]来存储各个状态的“值”。

 

3. 确定一些初始状态（边界状态）的值 
 
      以“数字三角形”为例，初始状态就是底边数字，值 就是底边数字值。 

4. 确定状态转移方程 
 
       定义出什么是“状态”，以及在该 “状态”下的“值”后，就要 找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”，求出另一个“状态”的“值”(“人人为我”递推型)。状 态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方 程”。

 

做题做多了再回来看看这篇概念，有不一样的体会。