关于概率密度函数和分布函数的理解

理解1：

离散随机变量：随机变量的值可以都列举出来，则该随机变量称为离散型，例如，投掷骰子事件，该事件只出现两种情况：正面和反面，可以使用整数0和1表示，0表示反面，1表示证明，则可以用离散随机变量来表示投掷骰子事件。连续性随机变量就是不能使用数列举出来的情况，例如，

理解2：

概率密度函数=概率函数，只是应用的对象不同，概率函数对应离散随机变量，概率密度函数对应连续随机变量。

在离散随机变量中，概率密度函数被称为概率函数，顾名思义，就是关于概率的函数，例如：，其中，pi表示投掷骰子的事件的概率值，只有两个取值（0，1）。该表示中变量为x，随机变量X的取值不同，得到不同结果，即给定一个特定的X，得到一个对应的结果，所以该表达式为一个关于变量X的函数，也就是概率函数。

倘若随机变量为连续数值，则称为概率密度函数，为何？首先看概率密度函数数学定义：

如果f(x)满足公式1和2，则f（x）就是概率密度函数。公式（1）表示概率密度函数的非负性，公式（2）表示各个取值累计和为1。从几何上将，公式（2）是函数f(x)图像下的面积，该面积为1。再看密度，密度第一想到是质量密度，密度=质量/体积，即单位体积下的质量，稍微推广下就是单位***下的***。回到公式（2），一种求积分的方法就是将函数f(x)分割为小的矩形框，也就是将整个面积分为多个小矩形框，通过对矩形框面积叠加得到总面积。好的，假设现在在x轴上等分f(x)N等分，则每个矩形的面积就1/N，结合质量密度定义公式，可以得到其实1/N表示的也是一种密度的概念，某个单位”长度“下的面积，只不过这个长度可以极限小。这也就是定义中为何为密度的一个原因。另外，这里矩形面积其实就是概率的含义，看下面的公式更容易理解：

 

公式（3）表示随机变量X在区间a和b之间发生的概率，注意这里是概率，其实就是在概率密度函数下a和b区间上的面积，这里的面积就是概率。

理解3：

分布函数首先也是一个函数，就是给定一个值，映射到另一个值，另外它表示的是分布，分布描述的是数据整体的情况。离散情况下，用概率分布列表来表示，很简单因为离散的情况下，随机变量的所有取值都可以列举出来，所以将所有情况放到一个表中就是概率分布列表，等价于分布函数。两个重点，一个是有变量，一个是有对应的概率，并且所有变量和概率都要取到。

对于连续性随机变量怎么办？将公式（3）推广到积分上限就是连续随机变量分布函数：

首先公式（4）也是一个关于y的函数， 其次变量y包括了所有变量，y本身是一个变量，它可以是任意数，所以包含了所有变量。

对照离散随机变量分布函数，一有变量y，二是有对应的概率值（即积分值），三所有情况都考虑了，所以公式（4）就是分布函数。另一方面，从公式（4）可以看处分布函数就是概率密度函数的累计和（积分就是累积和哈），不理解，看离散随机变量分布函数定义：

公式（5）表示F(x)就是一个累积和，累积加和在连续变量的情况下就是积分。

PS：python中使用

概率密度函数使用

python中可以使用科学计算包scipy中的统计模块实现概率密度函数，分布函数的计算，计算前可以对数据进行标准化处理，然后标准正态分布在某个点的概率密度可用scipy.stats.norm.pdf计算。借用别人的代码绘图正态分布：

from scipy import stats
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']#用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False#用来正常显示负号
#正态分布概率密度
X = []
Y = []
for a in np.linspace(-5, 5, 100):
    y = stats.norm.pdf(a)
    X.append(a)
    Y.append(y)
plt.plot(X, Y)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("p")
plt.title("正态分布概率密度")
plt.show()

运行后得到：

默认情况，scipy.stats.norm.pdf计算均值为0，方差为1 的正态分布，x轴上某个点对应的p值不是概率，不是概率，不是概率，是概率密度，衡量的是事件在该点处出现的密度（频率），连续随机变量在某个值的概率是0，但是根据公式（3），在x轴上某个区间的面积是概率，表示事件在该区间内出现的概率。

计算某个值在正态分布中的概率，需要知道均值和标准差，p=scipy.stats.norm.pdf(x, loc=均值，scale = 标准差)/标准差=scipy.stats.norm.pdf(x）

分布函数使用

分布函数使用scipy.stats.norm.cdf，同样借用别人的代码看下分布函数的样子：

from scipy import stats
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']#用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False#用来正常显示负号
#正态分布概率密度
X = []
Y = []
for a in np.linspace(-5, 5, 100):
    y = stats.norm.cdf(a)
    X.append(a)
    Y.append(y)
plt.plot(X, Y)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("p")
plt.title("正态分布累积概率分布")
plt.show()

结果如图:

可以看处，分布函数是一个递增函数，肯定是啊，因为它是一个累积和啊，而且最大值为1（所有概率加和为1）。x轴某点对应的值表示事件发生的概率。

查表的话，同概率密度函数用法相同：p=scipy.stats.norm.cdf(x, loc=均值，scale = 标准差)。

产生正态分布样本

使用numpy中的np.random.normal（）函数：

import numpy as np
#设置随机数种子seed
np.random.seed(456789)
#生成15个均值为10，标准差为2的正态分布样本
r = np.random.normal(loc=10, scale=2, size=15)
print(r)