图论(3)：连通图和匹配

图论(3):连通图和匹配度

1.顶点连通度定义

​ 设 G=(V,E) 是一个无向图 ,V的子集S称为分离图G,如果G-S是不连通的，图G的顶点连通度$\kappa =\kappa (\mathrm{G})$ 是为了产生一个不连通图或平凡图所需要从G中去掉的最少顶点的数目

​ 图G 的 “ 顶点连通度 ” ，简称G的 “ 连通度”

• 不连通的图的顶点连通度为0
• 有割点的连通图的连通度为1
• 完全图${\mathrm{K}}_{\mathrm{p}}$的连通度为p-1
• $K_1$的连通度为0

2.边连通度定义

​ 图G的边连通度$\lambda =\lambda (G)$ 是为了使G产生不连通图或平凡图所需要从G中去掉的最少边数

• 不连通的图和平凡图的边连通度为0
• $\lambda (K_p)=p-1$
• 非平凡树的边连通度为1
• 有桥的连通图的边连通度为1

3.顶点连通度、边连通度、最小度的关系

①定理

​ 对任一图G,有$\kappa (G)\le \lambda (G)\le \delta (G)$

②定理

​ 对任何正整数a, b, c, 0 < a ≤ b ≤ c,存在一个图G使得
$$\kappa (G)=a,\lambda (G)=b,\delta (G)=c$$

③n-顶点连通、n-边连通定义

​ 设G是一个图, , 如$\kappa (G)\ge n$, 则称G是n-顶点连通图，简称n-连通；如果$\lambda (G)\ge n$,则称G是n-边连通的

顶点连通图，简称n-连通；如果$\lambda (G)\ge n$,则称G是n-边连通的