牛客练习赛52C.烹饪
链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/1084/C
来源：牛客网
烹饪
时间限制：C/C++ 1秒，其他语言2秒
空间限制：C/C++ 32768K，其他语言65536K
64bit IO Format: %lld
题目描述
“你已经是一个成熟的孩子了，要学会自己烹饪了！”
小 Y 上山拜师学艺，经过 年之长的厨艺练习，已成为当世名厨，今天他接受邀请，在众人面前展示自己高超的厨艺。
人们给小 Y 提供了 种食物，每种食物无限量供应，每种食物都有一个美味值，记为 aia_iai。
小 Y 为了展示他的厨艺，他需要挑选出食材，使自己可以烹饪出任意正整数美味值的菜肴，初始时菜肴的美味值为 ，每次加入一种食材，他可以选择让菜肴的美味值上升 aia_iai，也可以选择让菜肴的美味值下降 aia_iai（或许最后会弄出来黑暗料理？）。
作为当世名厨，小 Y 自然知道该怎么挑选食材最佳。可是他并不知道有多少种最佳的挑选食材方案，于是他找到了你来帮忙。
我们使用无序数列(b1,b2,…,bm)(b_1,b_2,\ldots,b_m)(b1,b2,…,bm)来表示从原来的n种食材中挑选出了m种食材，第i种食材编号为bib_ibi的方案。同时你需要注意，和为同一种方案且当i≠ji \not =ji=j时，bi≠bjb_i \not = b_jbi=bj。
最佳的挑选食材方案指，挑选出 种食材（1≤m≤n1\leq m\leq n1≤m≤n），让他们能够组合出任意正整数美味值的菜肴。
例如，当n=2,a1=1,a2=2n=2,a_1=1,a_2=2n=2,a1=1,a2=2时，(1),(1,2)\left( 1\right),\left( 1,2\right)(1),(1,2)都是最佳的挑选食材方案。
答案对 998244353取模。
输入描述:
第一行一个正整数 。 第二行 个正整数 ai(1≤ai≤2 000)a_i(1\le a_i\le2\ 000)ai(1≤ai≤2 000)。
输出描述:
输出一个数表示最佳的挑选食材方案的数量对 998244353取模。
示例1
输入
复制
5 1 2 3 4 5
输出
复制
26
示例2
输入
复制
1 2
输出
复制
0
思路参考于：https://blog.csdn.net/Morning_Glory_JR/article/details/100835716
不得不说这个题确实很厉害，我们发现，因为对于每个ai，我们都可以加上ai或者减去ai，那么，如果我们要凑出任意正整数的集合，就必须凑出1；一旦我们能够凑出1，我们就可以凑出任意正整数的集合。
那么什么情况下可以凑出1呢？
1.如果有两个数a，b，b=a+1，则可以凑出1，因为gcd(a,b)==gcd(a,a+1)==1；
2.对于a的每一个因子k，有gcd(k,b)==1，所以这也是满足条件的。
3.利用上述关系，如果一个集合a1,a2.....an，有gcd(a1,a2,....an)==1，那么这个集合是可以构成任意整数的。
所以我们的问题就转变成，在一个集合中选择多少个数，让他们的gcd(a1,a2,...an)==1的方案数。
直接背包就可以了，f(i,j)表示前i个中选择的数的集合，gcd(a1,a2....ak)==j的方案数。
#include
using namespace std;
const int maxn=3000+10;
const int maxm=2000+10;
const int mod=998244353;
int f[maxn][maxm];
int a[maxn];
signed main(){
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
f[1][a[1]]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
f[i][a[i]]=1;
for(int j=1;j<=2000;j++){
f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j])%mod;
}
for(int j=1;j<=2000;j++){
f[i][__gcd(a[i],j)]=(f[i-1][j]+f[i][__gcd(a[i],j)])%mod;
}
}
printf("%d\n",f[n][1]);
return 0;
}