2021-06-22 离散数学图论复习笔记

离散数学图论复习笔记

仅记了自己不太熟悉容易弄混的概念，不懂的可以回到知乎连接查看。

一、图的类型

1. 无序对——（a,b），AB之间的线
2. 无序积——A&B，AB之间线的集合
3. 有序对——，AB之间有方向的线
4. 有序集——AxA，AB有向线的集合
5. 无向图——G=，其实也写成G=(V,E)，V为顶点集，不能为空，E为边集，E=V&V，G为它们构成的有序对。
6. 有向图——D=，其中V非空，E=VxV（E有向）
7. 一些特殊的图：

• n阶图——有n个顶点的图
• 有限图——顶点有限的图
• 零图——没有边的图
• 平凡图——只有一个顶点，没有边
• 空图——V,E都为空
• 标定图——带标记的图
• 非标定图——不带标记的图
• 底图——去掉方向的图（有向图去掉方向后的图）

二、图中各元素的关联

1. 关联次数：

• 无向图：相邻两点均为1，环的关联次数为2.
• 有向图：相邻两点，起点为+1，终点为-1.

2. 平行边： 起点和终点相同的边。
3. 邻域：

• 无向图：
  邻域：与点u相邻的点的集合。
  闭邻域：邻域并上u本身。
  关联：与u关联的边的集合。
• 有向图：
  后继：从u出发达到的终点。
  前驱：以u为终点的起点。
  闭邻域：后继与前驱的并集。

4. 度
   无向图 度：连在u上的边数。
   有向图 度：出入度。

三、图论的基本定理

1. 握手定理：

• 无向图：
  所有顶点的度之和一定是偶数（两两成对）。
  含有度数为奇的顶点一定有偶数个。（既然度数不给力，只能从点的个数入手了[坏笑]）
• 有向图：
  出度=入度=边数。

四、度数列可视化

1. 兴致好的图

• 简单图： 无环无平行边。
• K-正则图： 所有点的度都为K

2. 度数列

• 每个顶点的度组成的序列d
  例：d=（5,1,2,3,3）

3. 可图化

• 可依照度数列d，画出符合要求的图G
• 条件：d的和为偶数

4. 可简单图化

• 可依照度数列d，画出符合要求的简单图G（无环无平行边）
• 充要条件：Havel定理，d递减，间隔为1.
  还有一个Erdös的充要条件，先不弄了。

五、图的结构

1. 图同构

• 双射，两图的顶点和边关系一样。

2. 图族

• 完全图： 所有顶点之间两两都有联系的图。
• 生成子图： 包括原图所有顶点的子图。
• 导出子图： 不一定包括所有顶点，但是给出的顶点的边都带着。
• 很多特殊图，此处不一 一阐述。

3. 通路与回路

• 通路： 起点到终点的顶点序列。
• 回路： 起点=终点的通路。

4. 弱、强、单向连通

• 弱连通： 通路，且每个顶点恰好过一次。
• 强连通： 回路，且每个顶点都过过（每个顶点至少过一次）
• 单向连通： 通路，且每个顶点至少过一次

5. 无向图连通度

• 点连通度： 删除多少点后，图不连通？
  无向完全图点连通度：k(Kn)=n-1
  平凡图点连通度为0.（平凡图只有一个顶点，无边）

应用：点连通性越大，连通度越好，作为网络牢固性越强，成本越大

• 边连通度： 删除多少边后，图不连通？

6. 各种割集

• 点割集： 删除一组点，图连通性被破坏，且组里面随便拿出一个点都不能单独破坏掉图的连通性。
• 割点： 弥补点割集的不足，一个点单打独斗也可以完成破坏任务。
• 边割集： 删除一组边破坏图连通性，同样，组里随便拿出一条边都不能单独去破坏图连通性。
• 割边（桥）： 一条边就可以单打独斗了。

7. 一些引理

• 彼得森图: 点连通度=3, 边连通度=3。
• whitney定理：点连通度(G) <= 边连通度(G) <= 最小度(G)

8. 欧拉图

欧拉通路：经过图中所有边的简单通路；
半欧拉图：有欧拉通路的图；
欧拉回路：经过图中所有边的简单回路；
欧拉图：有欧拉回路的图。

9. 哈密顿图

10. 树

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