线性代数问题集锦

如何理解线性代数中当一个矩阵的值不等于零，其就代表组成矩阵的向量线性无关？

矩阵的秩按定义就是构成矩阵的线性无关向量的数量。

如果矩阵是满秩的，那就是各个向量之间都是线性无关的了。

如果告诉你秩不满，就是在告诉你这些向量线性相关啦。而秩与向量数的差值就是等于可以被其余向量线性表达出来的向量数了。

所以，无需通过秩来判断是否线性相关，告诉你矩阵的秩了，就是告诉你是相关还是无关了。

怎么判断矩阵可不可以对角化？

第一步，看是不是实对称矩阵，如果是实对称矩阵，立即推可相似对角化，如果不是实对称矩阵，看第二步；

第二步，求方阵的n个特征值，如果特征值彼此都不相同，也就是都是单根的话，立即推可相似对角化，如果有重根，看第三步；

第三步，来验证k重根是不是具备k个线性无关的特征向量，也就是看A-λE或λE-A的秩是否等于n-k，若相等，立即推可相似对角化，不相等，则不能进行相似对角化

以上步骤一般来说适用于具体的数字型n阶矩阵能否进行相似对角化的判定，如果是抽象型的，大部分题目会设置成有重根的，去验证第三步成立与否就可以了

同时值得注意的是：

一、实对称矩阵可相似对角化；

二、方阵的n个特征值彼此都不同时，也就是都是但单根时的话，说明该矩阵可以相似对角化，如果有重根，则要看第三种情况。

三、验证k重根是不是具有k个线性无关的特征向量，也就是看A-λE或λE-A的秩是否等于n-k，若相等，则矩阵可以相似对角化，不相等时则不能相似对角化。即几何重根等于代数重数才能相似对角化。但特征根的几何重数等于代数重数等于1.

可逆矩阵不一定就能够相似对角化，需要满足以上三个条件之一才行。