嵌入均衡池的黏菌优化算法

一、理论基础

1、黏菌算法

请参考这里。

2、均衡优化算法

请参考这里。

3、嵌入均衡池的黏菌算法

尽管SMA已显示出很好的寻优效果，但在搜索过程中仍有改进的余地。由于$X_A$和$X_B$是$N$个黏菌的2个随机选择的个体，以优化可能陷入局部最优的情况，但这限制了搜索过程。因此，本文提出了嵌入均衡池的黏菌算法(Equilibrium slime mould algorithm, ESMA)，该算法用平衡池中的位置向量替换$X_A$，该位置向量由4个迄今为止最好的位置向量组成，并考虑它们的平均位置，灵感来自均衡优化器(Equilibrium optimizer, EO)。这种替换使得算法足够有效，可以更好地进行探索，以获得最优解。
均衡池的各个元素定义为：$$\begin{array}{l}{X}_{eq(1)}=X(sortIndex(1))\\ X_{eq(2)}=X(sortIndex(2))\\ X_{eq(3)}=X(sortIndex(3))\\ X_{eq(4)}=X(sortIndex(4))\\ \\ X_{ave}=\frac{X_{eq(1)}+X_{eq(2)}+X_{eq(3)}+X_{eq(4)}}{4}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$均衡池$X_{eq,pool}$由以下式子中的5个位置向量构成的：$$X_{eq,pool}=\left\{X_{eq(1)},X_{eq(2)},X_{eq(3)},X_{eq(4)},X_{ave}\right\}\text{\hspace{1em}(2)}$$第$i$个黏菌$X_i(i=1,2,\cdots ,N)$在新的迭代$(t+1)$中的位置向量在ESMA中建模为：$$X_i(t+1)=r_1\cdot (UB-LB)+LB,\text{when}{r}_1<z\text{\hspace{1em}(3a)}$$$$X_i(t+1)=X_{Gbest}+{step}_a\cdot (W\cdot X_{eq}-X_B),\text{when}{r}_2<p_i(t)\text{and}{r}_1\ge z\text{\hspace{1em}(3b)}$$$$X_i(t+1)={step}_b\cdot X_i(t),\text{when}{r}_2\ge p_i(t)\text{and}{r}_1\ge z\text{\hspace{1em}(3c)}$$其中，$X_{eq}$是来自均衡池的随机位置向量，它有助于在ESMA的探索/开发行为之间进行更好的权衡，借助权重因子$W$和随机黏菌$X_B$形成搜索空间；$z$有利于探索，以确保ESMA从搜索过程的开始到结束跳出局部极小值，通过实验确定$z$为0.03。
首先，确定问题维数$D$、具有上界$UB$和下界$LB$的搜索空间中的黏菌个体数量$N$ 、最大迭代次数$T$、消除和分散的概率$z$；以及适应度函数$f$，用于评估给定问题的适应度值。提出的ESMA的伪代码如下图所示：

二、仿真实验与结果分析

将ESMA与SMA、EO、HHO、GWO和WOA进行对比，实验设置种群规模为30，最大迭代次数为500，每个算法独立运行30次，以文献[1]中F1、F2(30维/单峰函数)、F10、F11(30维/多峰函数)、F20、F23(6维、4维/固定维度多峰函数)为例，结果显示如下：

函数：F1
ESMA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
SMA：最差值: 3.7271e-260, 最优值: 0, 平均值: 1.2424e-261, 标准差: 0, 秩和检验: 0.081523
EO：最差值: 5.136e-40, 最优值: 1.3035e-42, 平均值: 7.1117e-41, 标准差: 1.2074e-40, 秩和检验: 1.2118e-12
HHO：最差值: 4e-96, 最优值: 1.1315e-110, 平均值: 1.8184e-97, 标准差: 7.4532e-97, 秩和检验: 1.2118e-12
GWO：最差值: 1.0833e-26, 最优值: 2.2287e-29, 平均值: 1.9256e-27, 标准差: 2.5399e-27, 秩和检验: 1.2118e-12
WOA：最差值: 3.8878e-72, 最优值: 6.7468e-85, 平均值: 1.3365e-73, 标准差: 7.0923e-73, 秩和检验: 1.2118e-12
函数：F2
ESMA：最差值: 1.0181e-163, 最优值: 0, 平均值: 3.3937e-165, 标准差: 0, 秩和检验: 1
SMA：最差值: 1.7752e-121, 最优值: 1.478e-296, 平均值: 5.9174e-123, 标准差: 3.2411e-122, 秩和检验: 7.0763e-08
EO：最差值: 2.5464e-23, 最优值: 9.8696e-25, 平均值: 5.4613e-24, 标准差: 5.967e-24, 秩和检验: 3.0123e-11
HHO：最差值: 1.7893e-47, 最优值: 2.1478e-58, 平均值: 6.0536e-49, 标准差: 3.2654e-48, 秩和检验: 3.0123e-11
GWO：最差值: 2.8522e-16, 最优值: 1.4279e-17, 平均值: 9.7252e-17, 标准差: 6.6141e-17, 秩和检验: 3.0123e-11
WOA：最差值: 4.6387e-49, 最优值: 7.1971e-59, 平均值: 2.1565e-50, 标准差: 8.8973e-50, 秩和检验: 3.0123e-11
函数：F10
ESMA：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
SMA：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
EO：最差值: 1.5099e-14, 最优值: 7.9936e-15, 平均值: 8.5857e-15, 标准差: 1.8853e-15, 秩和检验: 6.1337e-14
HHO：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
GWO：最差值: 1.2879e-13, 最优值: 7.5495e-14, 平均值: 9.5982e-14, 标准差: 1.4232e-14, 秩和检验: 1.1083e-12
WOA：最差值: 7.9936e-15, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 4.4409e-15, 标准差: 2.4685e-15, 秩和检验: 3.6292e-09
函数：F11
ESMA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
SMA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
EO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
HHO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
GWO：最差值: 0.026365, 最优值: 0, 平均值: 0.0024371, 标准差: 0.0061488, 秩和检验: 0.021577
WOA：最差值: 0.10462, 最优值: 0, 平均值: 0.0034872, 标准差: 0.0191, 秩和检验: 0.33371
函数：F20
ESMA：最差值: -3.1991, 最优值: -3.322, 平均值: -3.2701, 标准差: 0.060406, 秩和检验: 1
SMA：最差值: -3.1978, 最优值: -3.322, 平均值: -3.2424, 标准差: 0.057275, 秩和检验: 0.56922
EO：最差值: -3.1376, 最优值: -3.322, 平均值: -3.254, 标准差: 0.066615, 秩和检验: 0.039096
HHO：最差值: -3.1935, 最优值: -3.3219, 平均值: -3.2693, 标准差: 0.06103, 秩和检验: 0.0063772
GWO：最差值: -2.8426, 最优值: -3.322, 平均值: -3.2281, 标准差: 0.11188, 秩和检验: 0.20095
WOA：最差值: -2.4311, 最优值: -3.3216, 平均值: -3.177, 标准差: 0.19098, 秩和检验: 3.3681e-05
函数：F23
ESMA：最差值: -10.5353, 最优值: -10.5363, 平均值: -10.536, 标准差: 0.0002631, 秩和检验: 1
SMA：最差值: -10.5352, 最优值: -10.5364, 平均值: -10.536, 标准差: 0.00028231, 秩和检验: 0.8418
EO：最差值: -2.4217, 最优值: -10.5364, 平均值: -9.6349, 标准差: 2.3911, 秩和检验: 9.4664e-07
HHO：最差值: -2.4215, 最优值: -10.5355, 平均值: -5.3987, 标准差: 1.481, 秩和检验: 3.6897e-11
GWO：最差值: -2.8709, 最优值: -10.536, 平均值: -10.2792, 标准差: 1.3992, 秩和检验: 9.7555e-10
WOA：最差值: -1.6733, 最优值: -10.5322, 平均值: -6.6317, 标准差: 3.6019, 秩和检验: 3.0199e-11

实验结果表明：ESMA在收敛速度、收敛精度、鲁棒性方面均较对比算法有较大提升。

三、参考文献

[1] Manoj Kumar Naik, Rutuparna Panda, Ajith Abraham. An entropy minimization based multilevel colour thresholding technique for analysis of breast thermograms using equilibrium slime mould algorithm[J]. Applied Soft Computing, 2021, 113: 107955.